3.4 Оптимізація з нечіткою метою

Завдання оптимізації з нечіткою метою формулюється таким чином:

(3.38)

при обмеженнях

. (3.39)

Відомо, що цільова функція є елементом множини

(3.40)

Нечітка мета в завданні оптимізації є звичайною цільовою функцією і є нечіткими множинами на з функцією приналежності .

Для вирішення завдання (3.38) – (3.39) використовується α-рівневі множини нечіткої цільової функції. Тоді будь-яка нечітка мета є нечітким відношенням переваги між елементами допустимої області, і, отже, рішення задачі нечіткого математичного програмування з нечіткою метою зводиться до рішення задачі багатокритеріального ухвалення рішень (число критеріїв рівне кількості рівнів , ). Це означає, що для вирішення завдання (3.38) – (3.39) досить розв’язати

при обмеженнях

,

де , , які представляють собою багатокритеріальну задачу оптимізації.

У лінійному випадку відомо, що , і розв’язання задачі

при обмеженнях

зводиться до визначення нечіткої множини

де , , тобто до розв’язання задачі:

(3.41)

при обмеженнях

. (3.42)

Завдання (3.41) – (3.42) є завданням з багатокритеріальною оптимізацією і вирішується відомими методами.

Приклад 3.1. Розглянемо завдання нечіткої оптимізації процесу каталітичного крекінгу. Нечітка модель цього процесу (див. §2.2) має вигляд:

(3.43)

де у₁ – вихід автобензину; у₂ – вихід газу; х₁ – витрата сировини; х₂ – щільність сировини; х₃ — температура сировини; х₄ – температура в реакторі I ступеня; x₅ – температура у реакторі II ступеня; х₆ – температура в середині регенератора.

Вихід автобензину управляється зміною параметрів . Є строгі технологічні обмеження на межі зміни керуючих параметрів:

. (3.44)

Отримуваний на установці рідкий газ використовують як сировину для інших виробничих процесів, тому його випуск повинен бути не менше заданого (планового) значення

(3.45)

Завдання оптимізації установки каталітичного крекінгу полягає у визначенні таких значень керуючих параметрів при задоволенні обмежень (3.44) – (3.45) і , щоб вихід автобензину був максимальним.

Математично це завдання формулюється таким чином: знайти

(3.46)

при обмеженнях

або

(3.47)

при обмеженнях

, (3.48)

де .

Завдання (3.47) – (3.48) є завданням нечіткого математичного програмування з нечіткою цільовою функцією і чіткими обмеженнями. Використовуючи α-рівневі множини ( 0,8; 1), напишемо завдання (3.47) – (3.48) відповідно до (3.41) – (3.42) у вигляді

при обмеженнях

.

Для вирішення цього 5-критеріального завдання застосуємо метод згортки критеріїв з фіксованими пріоритетами .

В результаті максимізації згортки критеріїв

де ,

або

Метод перебору на ЕОМ «СМ1200» при постійному значенні збурюючих впливів , , були отримані наступні розв’язки задачі (3.47) – (3.48):

≈біля 91;

Дослідження поведінки цільової функції в наближеннях оптимальної точки показує, що мінімальне відхилення від цієї точки не дає кращих результатів. Наприклад, в точці (540, 494, 487)

а в точці (540,497,490)

тобто хоча значення критеріїв в цих точках рівні або більші найденого оптимального, але їх не можна вважати оптимальними, так як в першому випадку , а в другому , що означає порушення обмеження (3.45).