1. Необхідна ознака збіжності ряду.

Теорема 2.1. Якщо ряд збігається, то його n-й член прямує до нуля при необмеженому зростанні n:

.

Підкреслимо, що розглянута ознака є тільки необхідною, але не є достатньою, тобто якщо n-й член прямує до нуля, це ще не означає, що ряд збігається; ряд може й розбігатися.

Наслідок. Якщо не прямує до нуля при , то ряд розбігається.

Приклади.

1.

Необхідна ознака відповіді не дає.

2.

Ряд розбігається.

2. Ознаки порівняння рядів

Теорема 2.2. Нехай подано два ряди:

(2.1)

(2.2)

причому . Тоді із збіжності ряду (2.2) витікає збіжність ряду (2.1), а з розбіжності ряду (2.1) витікає розбіжність ряду (2.2).

Теорема 2.3. Якщо подано два ряди та ( і існує кінцева границя , то ряди в розумінні збіжності поводяться однаково.

Зауваження 1. У загальному випадку ряд геометричної прогресії збігається, якщо й розбігається, якщо .

Зауваження 2. Узагальнений гармонійний ряд збігається, якщо і розбігається, якщо .

Приклад1.

Дослідити на збіжність ряд

(2.3)

Для порівняння вибираємо гармонійний ряд

Так як , то ряд (2.3) розбігається.

Приклад2.

Дослідити на збіжність ряд

Для порівняння візьмемо ряд - збігається, тому що ;

, ;

За теоремою 2.3 даний ряд теж збігається.

Приклад3.

Дослідити на збіжність ряд

Для порівняння візьмемо ряд - розбігається, тому що ; , ;

За теоремою 2.3 даний ряд теж розбігається.

2.3 Ознаки Даламбера і Коши (радикальна)

Теорема 2.4. (ознака Даламбера).

Якщо дано ряд ( і існує кінцева границя відношення наступного члена до попереднього при необмеженому зростанні номера, тобто , то при <1 ряд збігається, а при >1 – розбігається (при =1 нічого сказати не можна про збіжність, потрібні додаткові дослідження).

Теорема 2.5. (радикальна ознака Коши).

Якщо дано ряд ( і існує кінцева границя , то при <1 ряд збігається, а при >1 – розбігається (при =1 нічого сказати не можна про збіжність, потрібні додаткові дослідження).

Приклад1.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як >1, ряд розбігається за ознакою Даламбера.

Приклад2.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як <1 , то ряд збігається за ознакою Даламбера.

Приклад3.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як <1 , то ряд збігається за радикальною ознакою Коши.

Приклад3.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як >1 , то ряд розбігається за радикальною ознакою Коши.

2.4 Інтегральна ознака Коши

Теорема 2.6. Нехай дана ряд ( , члени якого не зростають: . Нехай далі - функція, що визначена при , безперервна, не зростає й , , , ;

Тоді для збіжності даного ряду необхідно й досить, щоб сходився невласний інтеграл .

Приклад1.

Досліджувати на збіжність гармонійний ряд

Для цього ряду , і в цьому випадку

, значить невласний інтеграл розходиться, отже, вихідний ряд розходиться.

Приклад2.

Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду , і в цьому випадку

тобто невласний інтеграл збігається, отже, вихідний ряд збігається.