5.3 Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов (вопрос 60)

Рассмотрим апериодическую разрядку конденсатора (рисунок 5.6). Если ключ переключить из положения в положение , то образуется накоротко замкнутый контур, в котором до коммутации конденсатор заряжен до напряжения источника .

Рисунок 5.6 – Апериодическая разрядка конденсатора

После коммутации в замкнутом контуре протекает свободный процесс, который, согласно второму правилу Кирхгофа, описывается однородным уравнением:

.

Так как , то

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

, или ,

где корнями данного уравнения являются два корня:

.

Если в колебательном контуре резонансная частота и , то выражение для определения корней характеристического уравнения можно переписать:

.

Характер свободного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения, которые, в свою очередь, зависят от соотношения параметров цепи . Свободный процесс, наблюдаемый в замкнутом контуре после коммутации, представляет собой апериодическую разрядку конденсатора. Апериодической называется разрядка конденсатора, заряженного до напряжения , через резистор и индуктивную катушку, когда напряжение на конденсаторе постепенно спадает до нуля. Апериодический процесс разрядки конденсатора имеет место, если корни характеристического уравнения вещественны, т. е. если , или , или получается пара разных корней.

Сопротивление называется критическим, так как оно является наименьшим сопротивлением контура, когда еще имеет место апериодический процесс разрядки конденсатора. При корни характеристического уравнения получаются комплексными и сопряженными. Таким образом, корни характеристического уравнения и будут вещественными и различными, если выполняется условие . Если корни различны, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где и − постоянные интегрирования, а и − вещественные и различные корни, которые должны быть отрицательными, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени.

Так как при разрядке конденсатора в накоротко замкнутом контуре процесс является свободным, то переходные значения напряжения и тока равны их свободным значениям, т. е. и . Ток цепи:

.

Подставляя начальные условия при и в

;

и решая совместно систему уравнений, определяем постоянные интегрирования:

Окончательно получаем, что

.

Напряжение на индуктивном элементе определяется по формуле;

.

Так как для свободного процесса, имеющего апериодический характер, корни характеристического уравнения должны быть вещественными и различными, то, согласно (36) и (37), они также всегда должны быть отрицательными.

К ак видно из формул (42), (43) и (44), корни характеристических уравнений входят в показатели экспонент; следовательно, свободные процессы в цепях всегда затухают и тем быстрее, чем больше абсолютное значение корня характеристического уравнения. Если согласно этим формулам характер изменения переходных процессов представить в виде кривых, то каждая из них будет представлять собой сумму двух экспонент с коэффициентами затухания и соответственно. Значение коэффициентов затухания находят по формуле (37). Кривые изменения напряжений и их составляющих на емкостном и индуктивном элементах, а также кривые изменения тока и его составляющих приведены на рисунке 10, а) – в).

а)

б)

в)

Рисунок 10 − Зависимости изменения токов и напряжений и их составляющих на емкостном и индуктивном элементах

Из рисунка видно, что напряжение на емкостном элементе постепенно уменьшается от начального значения , а ток в начальный отрезок времени, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем, как и , также затухает. Когда , то . Это означает, что в зависимостях , состоящих из алгебраической суммы двух экспонент, первая экспонента затухает медленнее, чем вторая. Вследствие этого напряжение на емкостном элементе постепенно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его первая экспонента положительна и больше второй отрицательной экспоненты. Кривая тока (рисунок 10, б) находится в отрицательной области, так как происходит апериодическая разрядка конденсатора.

Так как ток , то максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения имеют место в один и тот же момент времени (рисунок 10, а), б), а кривая в этот момент времени меняет знак, что следует из соотношения (рисунок 10, в). Время можно найти, приравнивая нулю производную . Напряжение на индуктивном элементе возникает скачком, принимая в начальный момент значение , затем уменьшается по абсолютному значению, проходит через нуль при равенстве экспонент и, став положительным, возрастает до некоторого максимального значения, после которого, уменьшаясь, стремится к нулю.

Следует отметить, что, согласно (37), увеличение индуктивности приводит к уменьшению абсолютных значений и и, как следствие, к замедлению возрастания тока и спада напряжения на емкостном элементе .