1. Біномінальний розподіл – це дискретний розподіл, який описує розподіл числа появи певної події в послідовності з n – незалежних подій, якщо ймовірність одиничної появи рівна р.

. .

(7.9)

Наприклад. 1. Число дефектних виробів у партії визначеного обсягу. 2. Число об'єктів, що . володіють заданою комбінацією властивостей.

2. Пуасонівський розподіл – це дискретний розподіл, який використовуються для подій, які рідко проявляються.

.

(7.10)

Наприклад. 1. Число збоїв налагодженого виробничого процесу. 2. Число вимог, які надходять за одиницю часу в систему масового обслуговування. 3. Кількість патентів, зареєстрованих протягом певного часу.

Нормальний розподіл (розподіл Гауса) – це дискретний розподіл, який є досить універсальним і може використовуватися для апроксимації (наближення) економічних показників. Цей розподіл характеризує процеси, на які впливають багато незалежних факторів за умови, що внеском кожного з них можна нехтувати в порівнянні із загальним сумарним впливом.

Наприклад. Відхилення від номіналу в значеннях параметрів виробів, виготовлених в умовах стаціонарного масового виробництва.

.

(7.11)

Приклади розподілу наведені на рис. 5.

Рис. 5. Графіки нормального розподілу

3. Рівномірний розподіл – це дискретний розподіл, який використовується для оцінки рівновеликої появи величини х з певного проміжку.

.

(7.12)

Наприклад. 1) Помилка заокруглення при проведенні числових розрахунків з фіксованим числом. 2) Час очікування обслуговування при періодичному включенні.

Перевірка відповідності емпіричного та теоретичного розподілів

Для перевірки співпадіння емпіричного та теоретичного розподілів необхідно порівняти частоти фактичного розподілу з відповідними теоретичними частотами.

Для неперервних розподілів теоретичні розподіли знаходяться через розбиття зони спостереження на окремі інтервали та наступне інтегрування по даному інтервалу.

Наприклад, для нормального розподілу теоретичні частоти можна розрахувати за формулою:

.

(7.13)

де (t) – значення функції в точці t; n – загальне число спостережень; h – довжина інтервалу.

Ступінь відповідності між фактичним і теоретичним розподілами оцінюється за допомогою критерію узгодженості Пірсона, Романовського, Колмагорова.

Критерій Пірсона.

.

(7.14)

де f_теорет, f_емпір, - теоретична та емпірична частота для відповідного інтервалу.

Критерій Пірсона (χ²) розраховують для заданого числа ступенів вільності при даному рівні значимості, найчастіше для 0,05 і 0,01.

Для нормального розподілу кількість ступенів вільності визначають за формулою

(7.15)

де v – число ступенів вільності; m – число інтервалів.

Критерій Пірсона використовується при виконанні таких вимог:

1. число спостережень має перевищувати 50;

2. теоретичні частини в інтервалах повинні набувати значень, які перевищують 5;

За розрахованим і табличним значенням χ² можна зробити такі висновки:

1. якщо χ²_{розраховане} < χ² _{табличне}, тоді розбіжність між теоретичними і емпіричними частотами не перевищує максимально можливу, яка викликається випадковими змінами вибіркових даних. Отже, відхилення вважається випадковим, неістотним, емпіричний розподіл відповідає теоретичному;

2. якщо χ²_{розрахункове} > χ² _{теоретичне}, тоді розбіжність між емпіричними і теоретичними частотами є істотною, яку не можна оцінити як розбіжність за рахунок коливань випадкових даних. Отже, відхилення частот вважається істотним, а емпіричний розподіл принципово відмінним від теоретичного.

Статистична перевірка гіпотез

Статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити опираючись на результати вибіркового спостереження. Суть перевірки гіпотез полягає в тому, щоб визначити, узгоджуються чи ні результати вибірки з гіпотезою, випадковими чи не випадковими є розбіжності між гіпотезою і даними вибірки. Найчастіше гіпотеза, яку треба перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають

H0:G=A.

(7.16)

Кожній новій гіпотезі протиставляють альтернативну. При її формулюванні враховується знак відхилення. Для додатних це буде H₀:G>A, а для від'ємних H₀:G<A. Якщо випадкові дані суперечать гіпотезі Н_о, то вона відхиляється.

Спираючись на результати вибірки статистична перевірка гіпотези неминуче пов'язана з ризиками прийняття помилкового рішення:

• ризик 1 – відхилення правильної нульової гіпотези;

• ризик 2 – невідхилення нульової гіпотези, коли правильною є альтернативна.

Ці ризики є конкуруючими: зменшення одного приводить до збільшення іншого. Оскільки уникнути ризиків неможливо, а їх наслідки, як правило, різновагомі, то в кожному конкретному випадку прагнуть мінімізувати ризик понести найбільші втрати.

Таблиця 7

Гіпотези та ймовірність їх прояви

Правильна гіпотеза	Прийнята гіпотеза
		1-
Ho		1-
Ha	1-	

Правило, за яким гіпотеза Н_о відхиляється (приймається), називається статистичним критерієм. Матеріальною основою будь-якого критерію є статистична характеристика Z, значення якої визначається за даними вибірки, а закон розподілу відомий.

Кожне значення характеристики Z має певну ймовірність F(Z). Якщо вибіркове значення Z малоймовірне – гіпотеза H_z відхиляється. Межі мало ймовірності називають рівнем істотності. За змістом – це ймовірність ризику (). Тому залежно від змісту гіпотези Н_о і наслідків відхилення рівень істотності задається у кожному конкретному дослідженні. Як правило, це 0,1; 0,05; 0,025; 0,01. Значення статистичної характеристики критерії Z (Z_1-) поділяє множину вибіркових значень Z на дві частини: 1) область допустимих значень; 2) критичну область. Залежно від того, як сформульована альтернативна гіпотеза, критична область може бути односторонньою та двосторонньою.

Якщо вибіркові значення Z потрапляють в критичну область, то гіпотеза Н_о відхиляється, і приймається якщо Z попадає в область допустимих значень.

Статистична гіпотеза перевіряється так: 1) формулюється Н_о і Н_а; 2) вибирається статистична характеристика Z за значеннями якої перевіряють правильність гіпотези Н_о; 3) визначають рівень істотності і відповідно критичне йому значення (залежно від формування гіпотези це може бути одностороння чи двостороння область); 4) за результатами розраховують фактичне (вибіркове) значення статистичної характеристики Z(_1-); якщо Z Z_1- - гіпотеза Н_о відхиляється, в іншому випадку для Z Z_1- - гіпотеза Н_о приймається.