Практическая часть
1. Математическое описание двигателя постоянного тока.
Управление электродвигателем осуществляется подачей на якорь напряжения Uу с выхода усилителя мощности.
Электродвигатель состоит из двух звеньев: якорной цепи и механической части, с которой связана нагрузка.
Выходной
частью является угловая скорость
вращения
.
Примем следующие допущения:
а) пренебрежем реакцией якоря электродвигателя.
б)
магнитный поток возбуждения будем
считать постоянным
=
const.
Уравнение равновесия ЭДС в якорной цепи имеет вид:
Далее перейдя к приращениям, а затем к относительным безразмерным уравнениям получим уравнения в стандартном виде:
где
-
постоянная времени
цепи якоря,
-
коэффициент пропорциональности,
-
электромеханическая постоянная времени
-коэффициент
влияния нагрузки
8
Математическая
модель ДПТ, где входное воздействие –
напряжение питания Uy
(
),
возмущающее воздействие M
(МН),
выходная переменная – частота вращения
вала
:
Ввиду зависимости между углом поворота и частотой вращения:
Получим, что.
Математическая
модель ДПТ, где входное воздействие –
напряжение питания Uy
(
),
возмущающее воздействие M
(МН),
выходная переменная – угол поворота
вала
.
9
2. Математическая модель в пространстве состояний
В качестве переменных состояний возьмём:
Тогда получим следующие дифференциальные уравнения систем:
Из первой системы:
Из второй системы:
где U1 – напряжение питания ДПТ (U);
U2 – возмущающее воздействие в момент нагрузки (МН);
Преобразуем к стандартному виду:
- частота вращения вала ротора ( ).
- угол поворота вала ротора (φ)
Или в матричной форме:
10
3. Определение устойчивости
Определим устойчивость ДПТ. Для этого получим характеристическое уравнение объекта в виде:
det(pE-A)=0;
В среде Mathlab найдём корни уравнения:
Зададим вектор полинома p=[1 7.43 12.075 0]; r=roots(p);
p=0; p=-5.0289; p=-2.4011;
По полученным корням характеристического уравнения можно сказать, что объект находится на границе апериодической устойчивости.
11
4. Получение передаточных функций
Получим передаточные функции ДПТ по уравнениям пространства состояний:
Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа.
где Х(0) – начальные условия.
Из первого уравнения выразим вектор Х(р):
Подставив полученное во второе уравнение, получим:
где Е – единичная матрица.
При нулевых (по определению ПФ, её начальные условия равны нулю, т.е. Х(0)=0) начальных условиях можно найти аналитическое выражение ПФ.
Получим:
Примем U2=0, тогда следует что:
;
;
12
Примем U1=0, тогда:
;
;
13