1.3 Операции над множествами

Для представления операций над множествами удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна.

1. Объединение множеств.

Результатом объединения множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом либо множества , либо множества .

Обозначение:

2. Пересечение множеств.

Результатом пересечения множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является одновременно и элементом множества , и элементом множества .

Обозначение:

Разность множеств.

Результатом разности множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом множества , и не является элементом множества .

_{Обозначение:}

Дополнение множества.

Дополнением множества до множества будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом множества , и не является элементом множества .

Обозначение:

Симметрическая разность множеств.

Результатом симметрической разности множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом в точности одного множества или .

Обозначение:

Пример: Даны два множества и . Выполнить операции объединения множеств, пересечения множеств, разности множеств, дополнения множества до , симметрической разности множеств.

Решение:

_{Пример:}_{Из 100 студентов 28 изучают английский
язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 –
английский и немецкий, 10 – английский
и французский, 5 – немецкий и французский,
3 – немецкий, английский и французский.
Сколько студентов изучают французский
язык?}

_{Решение:
Решение данной задачи легко получить
с помощью диаграмм Эйлера-Венна.}

Пример: Доказать, что если и , то .

Доказательство: Из определения пересечения и объединения следует, что множества и состоят из одних и тех же элементов, т.е. .

Пример: Доказать, что .

Доказательство:

_{Пример:}_{Верно ли, что для произвольных множеств} _и _{верно равенство} _?

_{Решение:}

Выберем 2 элемента и некоторого множества и запишем их в следующем виде: . Если строго определить первый и второй элементы пары, то полученную пару назовем упорядоченной, где - первый элемент пары, - второй элемент пары.