3. Принцип суперпозиции. Поле диполя.

А чему будет равна напряженность в некоторой точке электрического поля, созданного несколькими зарядами q₁, q₂, q₃, …?

Поместим в данную точку пробный заряд q. Пусть F₁ — это сила, с которой заряд q₁ действует на заряд q; F₂ — это сила, с которой заряд q₂ действует на заряд q и т.д. Из динамики вы знаете, что если на тело действует несколько сил, то результирующая сила равна геометрической сумме сил, т.е.

 .

Разделим левую и правую часть уравнения на q :

 .

Если учтем, что  , мы получим, так называемый, принцип суперпозиции полей

• напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами q₁, q₂, q₃, …, в некоторой точке пространства равна векторной сумме напряженностей  , … полей, создаваемых каждым из этих зарядов:

 .

Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы точечных зарядов в любой точке достаточно знать выражение для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 4, а, б показано, как геометрически определяется напряженность   поля, созданного двумя зарядами.

а

б

Рис. 4

• Для определения напряженности поля, создаваемого заряженным телом конечных размеров (не точечных зарядов), нужно поступать следующим образом. Мысленно разделить тело на маленькие элементы, каждый из которых можно считать точечным. Определить заряды всех этих элементов и найти напряженности полей, созданных всеми ими в заданной точке. После этого сложить геометрически напряженности от всех элементов тела и найти результирующую напряженность поля. Для тел сложной формы это трудная, но в принципе разрешимая задача. Для ее решения нужно знать, как заряд распределен на теле.

• Рассмотрим систему двух точечных электрических зарядов   и  , произвольным образом расположенных в пространстве на расстоянии   друг от друга. Такую систему зарядов назовем

  Рис. 2.1. Электрический диполь

•      электрическим диполем. Из точки расположения отрицательного заряда в точку расположения положительного заряда проведем вектор   (Рис. 2.1). Электрическим моментом диполя (дипольным моментом) назовем физическую величину

•      

  (2.1)

•      Понятие "электрический диполь" широко используется в электродинамике. Изучим свойства описанной системы.

•       Электрический диполь создает вокруг себя электрическое поле, которое нетрудно рассчитать с использованием принципа суперпозиции. Однако на расстояниях, значительно превышающих размер   диполя, электростатическое поле обладает некоторыми характерными свойствами, представляющими интерес для дальнейшего изложения предмета.

  Рис. 2.2. Поле электрического диполя

•       Рассмотрим физическую ситуацию, изображенную на рис. 2.2. Здесь   - точка наблюдения,   и   - векторы, проведенные из точек расположения соответствующих зарядов в точку наблюдения, вектор   описан выше.

•       Рассчитаем значение потенциала электростатического поля в точке наблюдения   в предположении, что потенциал бесконечно удаленной точки пространства равен нулю и  . Ниже под величинами   будем понимать модули соответствующих векторов. Точное выражение для потенциала в точке   имеет вид:

•      

  .

  (2.2)

•      Векторы   и   связанны между собой зависимостью

•      

  ,

  (2.3)

•      что позволяет переписать выражение (2.2) в форме:

•      

  .

  (2.4)

•      В полученном выражении опустим член   как малую величину и опустим индекс "+" у модуля соответствующего вектора:

•      

• 

•      С учетом обозначения (2.1) получаем:

•      

  ,

  (2.5)

•      где  - угол между вектором  и направлением на точку наблюдения  . Заметим, что если сравнивать между собой потенциал поля точечного заряда и потенциал поля диполя, легко увидеть, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда.

•       Напряженность электростатического поля в точке наблюдения   можно было бы вычислить, используя зависимость  , но вычисление градиента скалярного произведения требует привлечения довольно громоздкой формулы векторного анализа, поэтому используем прямое вычисление:

•      

  .

  (2.6)

•      Аналогично предыдущему воспользуемся тем обстоятельством, что  :

•      

• 

•      Упрощение последнего выражения с учетом малости   приводит к соотношению:

•      

  (2.7)

•      где  ,   имеет то же значение, что и выше. Если ограничиться направлением, перпендикулярным направлению дипольного момента ( ), то становится очевидным, что величина напряженности электрического поля диполя в дальней зоне убывает с расстоянием быстрее, чем убывает величина напряженности поля, образованного одиночным точечным зарядом.