Колебания прямоугольной мембраны.

мембрана, которая в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми x=0, x=l, y=0, y=m.

Уравнение колебаний мембраны

Начальные условия

Граничные условия

будем искать решение в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:

Из граничных условий следует, что

X(0)=0, X(l)=0, Y(0)=0, Y(m)=0

,

для функции X(x) получаем ,

Для функции Y(y) , Y(0)=Y(m)=0

Для функции T(t)

…

Каждая точка мембраны с координатами (x,y) совершает простое гармоническое колебание с частотой и амплитудой . Все точки колеблются в одной фазе.

Общее решение задачи о колебаниях мембраны представляется как сумма частных

Колебания круглой мембраны.

В ведем полярные координаты r и φ: x=rcos φ, y=rsin φ.

Выполняя замену переменных u(x,y,t)  u(r,φ,t) уравнение колебаний мембраны приводятся к виду

Граничные условие будет иметь вид

Начальные условия

Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла φ. Очевидно, что в любой момент времени скорости и отклонения точек будут зависеть от угла,

Граничные условия

Начальные условия

Будем искать решение в виде

Из краевого условия сразу находим U(R)=0

С учетом этого находим

Уравнения параболического типа. Линейная задача о распространении тепла.

стержень будем считать настолько тонким, что в каждый момент времени температуры всех точек в одном поперечном сечении будут одинаковы. Пусть стержень располагается вдоль оси x, тогда u(x,t)–температура в сечении стержня с абсциссой x в момент времени t.

будет определять скорость изменения температуры вдоль оси x. Количество тепла , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на , равно Где c–удельная теплоемкость тела, –плотность тела, V –объем тела.

Рассмотрим участок стержня, ограниченный поперечными сечениями с координатами x и x+ . Количество тепла, проходящее через левое поперечное сечение:

Для нахождения тепла, проходящего через правое поперечное сечение с точностью до бесконечно малых высших порядков,

Количество теплоты, сообщенное выбранному участку стержня за время :

Получаем уравнение теплопроводности для однородного стержня без тепловых источников

Здесь – коэффициент температуропроводности. F(x,t) – плотность тепловых источников – количество теплоты, выделяющееся (или поглощающееся) в единицу времени на единице длины.

Уравнения параболического типа. Начальные и краевые условия.

Начальное условие – задание температуры во всех точках стержня в начальный момент: u(x,0)=f(x) Краевые условия – условия в тех точках стержня, где возможен теплообмен с окружающей средой – на торцевых сечениях стержня. Простейшие краевые условия – концы стержня поддерживаются при постоянной температуре:

С учетом закона сохранения энергии получаем для правого торцевого сечения

для левого торцевого сечения

Где и – заданные температуры внешней среды.

Таким образом, задача теплопроводности для однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью без тепловых источников сводится к отысканию температуры u=u(x,t), удовлетворяющей уравнению

начальному условию

u(x,0) = f(x)

краевым условиям