32. Криволинейный интеграл 2-го рода, его определение, свойства и вычисление.

Пусть в плоскости Oxy задана непрерывная кривая АВ и ф-ция P(x,y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками в направлении от точки А к точке В на n дуг с длинами . На каждой «эл-ной дуге» возьмем точку ( ) и составим сумму вида , где - проекция дуги на ось Ox. Эта сумма – интегральная сумма для ф-ции по переменной x. Если при интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то его наз-ют КРИ-2 и обозначают .

. Аналогично вводится КРИ от ф-ции Q(x,y) по координате y: , - проекция дуги на ось Oy.

КРИ-2 общего вида: . КРИ по пространственной кривой L: .

Теорема: если АВ гладкая, а ф-ции и непрерывные на кривой АВ, то КРИ-2 сущ-ет.

Св-ва КРИ-2:1. зависит от пути интегрирования.

2.если кривая АВ разбита точкой С на 2 части АС и СВ, то инт-л по всей кривой равен сумме инт-ов по ее частям, т.е. .

3.если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Oy: (все ). Аналогично для кривой, леж. в плоск. Oy.

4.КРИ по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а от направления обхода: . С другой стороны: . Т.о. .

Параметрическое представление:

.Аналогично:

.

.

. Аналогично для пространственной кривой.

Явное представление: .

Криволинейные инт-лы 1 и 2-го рода связаны:

, – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке M(x,y) с осями Ox и Oy соответственно.

33. Криволинейный интеграл 2-го рода как работа переменной силы на криволинейном пути.

–P,Q,R проекции силы на корд. оси. Поставим задачу вычислить работу переменной силы на криволин. уч-ке пути. .

.

(1).

В случае замкн. контура инт-л (1) наз-ся циркуляцией вектора по этому контуру. Если в задаче не говорится о направлении обхода контура, то ВСЕГДА понимается положительное направление (против часовой стрелки).

34. Вычисление площади плоской фигуры с помощью кри-2.

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по ф-ле:

, при этом кривая L обходится против часовой стрелки. Положив в формуле Остроградского-Грина P(x,y)=0, Q(x,y)=x, получим: . Аналогично, полагая P=-y, Q=0, найдем еще одну ф-лу вычисления площ. фигуры с пом. КРИ: . Сложим почленно последние 2 равенства и разделив на 2 получим: .

35. Формула Грина.

Связь между 2-м инт-ом по обл. D и КРИ по границе L этой обл. уст-т ф-ла Остроградского-Грина. Пусть на плоскости Oxy задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, || корд. осям не более чем в 2-х точках, т.е. область D – правильная.

Теорема: если P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными и в обл. D, то имеет место ф-ла: , L – граница обл. D и интегр-ние кривой L производится в положит. напр. Эта ф-ла наз-ся Остроградского-Грина.

Замечание: ф-ла Грина справедлива и для произв. области, кот. можно разбить на конечное число правильных областей.

Теорема: пусть - ур. дуги AnB, а – ур. дуги AmB. Найдем сначала . По правилу вычисления 2-го инт-ла, имеем: . Аналогично док-ся, что . Отсюда можно вывести ф-лу Грина.