2.4. Уравнение любой волны является решением волнового уравнения. Пусть в положительном направлении оси X распространяется плоская монохроматическая волна.

Тогда ( ) = Acos ( t-kx+), следовательно

= -A ksin ( t-kx+), =-k Acos ( t-kx+), = -A  sin(ωt+φ)

- A cos ( t-kx+). Из сопоставления вторых производных получим

= , = , т.е. множитель перед определяет квадрат скорости волны.

Уравнение любой волны является решением соответствующего волнового уравнения, получающегося из ньютоновского рассмотрения движения малого элемента среды. Так, плоская волна, распространяющаяся в газе в направлении оси Х, является решением уравнения = .

Для волны, распространяющейся в произвольном направлении, волновое уравнение должно связывать производные по Х,Y,Z,t соответствующим образом. + + = , или = , где

= + + - оператор Лапласа. Если такое уравнение в некоторой системе связывает пространственные и временные производные, то

это однозначно указывает на то, что в среде распространяется волна ( ) = Acos ( t-kx+). Так, волновое уравнение для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме имеет вид E = , H = .

2.5. Энергия упругой (механической) волны.

Пусть в некоторой среде в направлении оси Х распространяется плоская продольная волна (x,t) = Asin ( t-kx+). Выделим в среде малый элемент объема , настолько малый, чтобы деформацию и скорость движения во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными соответственно и . Выделенный объем обладает кинетической энергией = ( ) , аналогично

( -масса объема, - его скорость). Потенциальная энергия упругой деформации этого объема

= = ( )²_∆V

где Е – модуль Юнга,  = - относительная деформация.

Полная энергия этого объема равна

полная = + = A cos ( t-kx+) + A cos ( t-kx+) = A cos ( t-kx+) ( +Ek = A cos ( t-kx+)  .

Разделив это значение на , получим объемную плотность энергии волны

= w = A cos ( t-kx+) = A  .

Плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. Среднее значение плотности энергии в точке пространства получим, усреднив данное выражение по времени с учетом того, что среднее значение от cos равно нулю.

<w> = A  =2π²A²f .

Среднее значение плотности энергии в данной точке среды пропорционально квадрату амплитуды, частоты и пропорциональна плотности среды ρ.Такая зависимость характерна для всех видов волн (плоских, сферических, затухающих…).

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется в разные точки среды самой волной. Для характеристики этого процесса вводят понятие потока энергии.

Поток энергии Ф ( ) через некоторую поверхность S определяется как энергия, переносимая за единицу времени через эту поверхность. Поток- величина скалярная и измеряется в ваттах (Вт = 1Дж/с). Поток энергии может быть различен через разные элементы поверхности, поэтому для характеристики распределения потока через поверхность вводят понятие плотности потока энергии . Плотность потока – величина векторная. Вектор сонаправлен вектору скорости волны. Тогда поток через малую поверхность dS определяется как d Ф = = J dS cos ( , ), где параллелен нормали к поверхности . Плотность потока численно равна энергии , переносимой через единицу поверхности, расположенной перпендикулярно направлению переноса энергии , за единицу времени и измеряется в Вт/м . Плотность потока может быть разной в разных точках пространства, через которое волна проходит. Тогда поток через поверхность S равен Ф=∫jdS.

Рис.

В оптике, акустике часто используют величину интенсивности волны I. Она определяется как средняя по времени мощность, переносимая через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению потока.

I = v = =

<w> =2π²A²f²

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды волны

I = <w>v = 2_π² A f v. Если источник точечный, то энергию, переносимую через поверхности разных радиусов можно считать постоянной, а интенсивность будет убывать с расстоянием обратно пропорционально r , так как I S = I₁S₁, где S = 4πR = 4πR и I = I .

2.7. Волны любой природы (механические, электромагнитные) могут

1. поглощаться в среде

2. отражаться и преломляться на границе двух сред,

3. накладываться друг на друга (принцип суперпозиции), проявляясь в явлениях дифракции и интерференции.

2.7.1. Поглощение волн в среде.

При распространении волны в среде энергия колебательного движения частично переходит во внутреннюю энергию частиц среды – в «тепло». Колебания частиц являются затухающими и плотность потока энергии w, переносимая волной, уменьшается по экспоненциальному закону

w = w₀ e ^-αx,

где α - коэффициент поглощения (см. таб. 1), x -расстояние от границы среды до точки, где определяется поток.

Таблица 1. Значения коэффициентов поглощения звука для различных материалов.

Материал коэффициент поглощения

Бетон 0.015

Оштукатуренная кирпичная стена 0.025

Ковер 0.2

Войлок ( 2.5 см ) 0.78