Устойчивость и сходимость

Наряду с локальной погрешностью важны понятия глобальной погрешности и устойчивости по начальным данным, которые характеризуют поведение погрешности на всем интервале интегрирования, а также понятие сходимости, которое описывает поведение разностной схемы при .

Устойчивость по начальным данным диф.уравнения – критерий того, что ошибка, допущенная в начальных данных, не возрастает при удалении от начальной точки: если в уравнении правая часть такова, что , то , где решение с начальными данными , а - с .

Устойчивость разностных схем (РС) (формул численного интегрирования дифференциальных уравнений) определяется устойчивостью численных решений на модельном уравнении:

разностная схема устойчива, если

Модельное уравнение для исследования устойчивости разностных схем

получается из исходного формальной заменой

где

Разностная схема безусловно устойчива, если условие выполняется при любых .

Если условие выполняется на некотором интервале изменения , то схема условно устойчива

Сходимость

Обозначим , . Можно получить равномерную оценку погрешности интегрирования задачи Коши на интервале -

где

— погрешность начальных данных

— локальная погрешность формулы на -м шаге

— погреш­ности округлений на шаге с номером

На основании этой оценки можно утверждать, что если выполняются условия:

то приближенное решение задачи Коши, полученное одношаговым методом, равномерно на отрезке сходится к точ­ному решению этой задачи.

Но

• условия 1) и 3) не выполняются

• оценки очень завышены