Приклад виконання завдання

Розглянемо приклад виконання завдання для умов, заданих платіжною матрицею 24 (таблиця 16.4).

Таблиця16.4 – Платіжна матриця гри (приклад)

	В1	В2	В3	В4
А1	8	4	5	2
А2	–2	8	–1	4

Розв’язок.

Спочатку перевіримо, чи є у гри сідлова точка (рішення в чистих стратегіях). Для цього знаходимо нижню ціну гри та верхню ціну гри (таблиця 16.5).

Таблиця 16.5 – Перевірка наявності сідлової точки

	В1	В2	В3	В4
А1	8	4	5	2	2	2
А2	–2	8	–1	4	–2
	8	8	5	4	; ; .
	4

Так як нижня ціна гри не дорівнює верхній, тобто , то робимо висновок, що гра не має сідлової точки та рішення у чистих стратегіях.

Спробуємо спростити платіжну матрицю гри.

Розглянемо гру з позицій гравця В. Порівнюючи його активні стратегії В₂ та В₄ помічаємо, що стратегія В₂ для гравця В є заздалегідь невигідною, оскільки при будь-якому ході гравця А він програє більше, використовуючи активну стратегію В₂ ніж використовуючи активну стратегію В₄ . Як кажуть, стратегія В₄ домінує стратегію В₂. Таким чином, стратегію В₂ з гри можна виключити, в результаті отримуємо гру з платіжною матрицею 23 (таблиця 16.6).

Таблиця16.6 – Спрощена платіжна матриця

	В1	В3	В4
А1	8	5	2
А2	–2	–1	4

Складаємо функціональні рівняння середньоочікуваних виграшів гравця А за формулою (16.4):

;

;

.

За складеними рівняннями у системі координат ( , ) будуємо відповідні графіки рівнянь (рисунок 16.1).

Рисунок 16.1 – Графіки рівнянь

Будуємо графік функції . Він охоплює нижню границю побудованих прямих та утворює контур ABCD (на рисунку 16.1 він показаний жирними лініями).

Екстремальна (максимальна) точка контуру – точка С. У ній перетинаються прямі та . Отже, отримуємо гру 22, у якій з боку гравця В маємо дві активні стратегії – В₃ та В₄ (таблиця 16.7).

Таблиця 16.7 – Гра 22

	В3	В4
А1	5	2
А2	–1	4

Оптимальні змішані стратегії гравців знаходимо за формулами (16.3):

; ;

; ;

.

Тобто, , , . Автотранспортному підприємству слід з імовірністю 0,25 (25 днів зі 100) виділяти рухомий склад за третім варіантом, та з імовірністю 0,75 (75 днів зі 100) – за четвертим варіантом. При цьому рухомий склад 62,5% днів відпрацює на першому маршруті та 37,5% днів – на другому маршруті, а підприємство буде одержувати середній щоденний прибуток 2,75 у.г.о.