2.6. Приведение маятника в верхнее положение равновесия

Математический маятник – груз малых размеров с массой на невесомом стержне длиной находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Требуется под действием ограниченной по величине силы, направленной перпендикулярно к оси маятника, за кратчайшее время привести маятник в положение равновесия с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).

Обозначим угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени , отсчитываемый в направлении против часовой стрелки.

Управление движением начинается в момент времени при отклонении , когда скорость отклонения , и должно закончиться за наименьшее время при отклонении и скорости отклонения .

Управлением является сила , крайние значения и означают включение двигателя на полную мощность в положительном и отрицательном направлении отклонения соответственно.

Составим уравнение движения маятника. Движение маятника по окружности происходит под действием силы (составляющая силы тяжести в направлении касательной) и управления с линейным ускорением . По второму закону Ньютона

.

Это – нелинейное (из-за ) дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией . Ограничиваясь положениями маятника, достаточно близкими к положению равновесия, мы можем заменить на (так как при малых ). Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Для упрощения вычислений будем считать, что . Тогда имеем уравнение движения

(1)

с краевыми условиями

2.6.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе дифференциальных уравнений

Как и в п.2.5.1, перейдем к нормальной системе заменой . Получим линейную стационарную задачу оптимального быстродействия

или

где , , .

Кроме ограничения на управление , в этой задаче имеется фазовое ограничение , где некоторое множество на фазовой плоскости (например, первая координата ограничена некоторым отрезком , в пределах которого считаем ). Но можно доказать, что принцип максимума Понтрягина остается в силе и в этом случае.

2.6.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения Сопряженная система

имеет общее решение

где – постоянный вектор. Функция Понтрягина имеет вид

При фиксированном , если или , то функция Понтрягина имеет максимальное значение, если взять или соответственно. Таким образом, функция управления , доставляющая максимум функции Понтрягина, имеет только два значения и , и переключение этих значений происходит в единственной точке , в которой .

При таком выборе функции будет автоматически при всех , кроме упомянутого исключительного значения.

Найдем фазовые траектории под управлениями и .

При система (1) имеет вид

(2)

Ее общее решение

(3)

где – произвольные постоянные. Исключив отсюда , получим

– семейство равнобочных гипербол с центром и асимптотами и . Из равенства (в системе (2)) видно, что если то а если то . Это значит, что с возрастанием времени в верхней полуплоскости (где ) движение происходит слева направо ( возрастает), а в нижней полуплоскости ( ) движение справа налево ( убывает).

Аналогично при из системы получаем

(4)

семейство равнобочных гипербол с центром и с асимптотами и . Как и в случае при и при : в верхней полуплоскости движение происходит слева направо, в нижней полуплоскости – справа налево.

Движение фазовой точки к пункту назначения происходит слева направо по верхней части левой ветви гиперболы семейства (3) с уравнением

(5)

и справа налево по нижней части правой ветви гиперболы семейства (4) с уравнением

. (6)

Линия переключения имеет уравнения

(7)