15.Скалярний векторний добуток. Властивості векторного добутку.

Скалярним добутком двох векторів ᾱ та ᵬ називається дійсне число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначається ab.

Якщо хоча б один з векторів a чи b нульовий,то за означенням ab = 0.

Властивості:

1.ab=ba

2.(ka)b=k(ab)

3.a(b+c)=ab+ac

16.Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.

Розглянемо добуток векторів і , складений в такий спосіб: Тут перші два вектори перемножуються векторно, а їхній результат скалярно на третій вектор. Такий добуток називається векторно-скалярним, або мішаним, добутком трьох векторів. Мішаний добуток являє собою деяке число.

З'ясуємо геометричний зміст виразу Побудуємо паралелепіпед, ребрами якого є вектори й і вектор (див. рис. 21.).

рис. 21.

Маємо: де - площа паралелограма, побудованого на векторах і , для правої трійки векторів і для лівої, де - висота паралелепіпеда. Одержуємо: , тобто , де V – об'єм паралелепіпеда, утвореного векторами і .

Таким чином, мішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, узятому зі знаком «плюс», якщо ці вектори утворюють праву трійку, і зі знаком «мінус», якщо вони утворюють ліву трійку.

Властивості мішаного добутку.1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, тобто Дійсно, у цьому випадку не змінюється ні об'єм паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.2. Мішаний добуток не міняється при зміні місцями знаків векторного і скалярного множення, тобто Дійсно, і . Знак у правій частині цих рівностей беремо той самий, тому що трійки векторів - однієї орієнтації. Отже, Це дозволяє записувати мішаний добуток векторів у виді без знаків векторного, скалярного множення.3. Мішаний добуток змінює свій знак при зміні місць будь-яких двох векторів-співмножників, тобто , , Дійсно, така перестановка рівносильна перестановці співмножників у векторному добутку, що змінює в добутку знак4. Мішаний добуток ненульових векторів і дорівнює нулеві тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Якщо то - компланарні.

Допустимо, що це не так. Можна було б побудувати паралелепіпед з обсягом Але тому що , те одержали б, що Це суперечить умові:

_{Назад, нехай вектори} - компланарні. Тоді вектор буде перпендикулярний площини, у якій лежать вектори , і, отже, Тому тобто

17. Векторний простір, його розмірність і базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.

18. Рівняння лінії на площині. Вивести канонічне та параметричне рівняння прямої.

     Рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки на площині, - це рівняння

           (3.3)

при умові

     В декартовій системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.3) визначає пряму лінію .

     Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.

     Нехай точка  лежить на прямій  ( ). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)

Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку

               (3.4)

     Якщо довільна точка на прямій, то вектор  повністю лежить на прямій а ліва частина рівності (3.8) виражає скалярний добуток векторів  і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор  перпендикулярний прямій . Вектор, який перпендикулярний до прямої  називається нормальним вектором прямої. Вектор який паралельний прямій, називається направляючим вектором прямої. Очевидно, що  і, наприклад,

     Нехай задана пряма Позначимо через  радіус-вектор її початкової точки . Розглянемо тепер деяку точку  , радіус-вектор якої позначимо через (рис.3.7). Вектор , початок якого лежить на прямій, паралельний прямій тоді і тільки тоді, коли його кінець   ( точка ) також лежить на прямій. В цьому

 

  Рис.3.7

випадку для точки  знайдеться таке число  (параметр), що

        (3.5)

Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.

Нехай в загальному вигляді направляючий вектор має координати Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні рівняння прямої на площині

         (3.6)

     Виключаючи із рівнянь (3.6) параметр  одержимо канонічне рівняння прямої         (3.7)

     Із рівняння (3.17) одержимо