19. Разложение по системе тригонометрических функций. Обобщённый ряд Фурье.

Разложение сигнала по системе тригонометрических функций. {coskωt; sinkωt} – система базисных функции.

- упрощение сигнала с помощью ряда Фурье.

Ряд Фурье — представление произвольной функции   с периодом   в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

где

А — амплитуда k-го гармонического колебания,

2пк/т — круговая частота гармонического колебания,

тетта — начальная фаза k-го колебания,

fк — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя придифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

20. Модуляция. Несущий и модулирующий сигнал. Аналоговая и импульсная модуляция. Виды аналоговой и импульсной модуляции.

Модуляцией называется, изменение характеристик сигналов x(t) в соответствии с изменением другого сигнала y(t). При модуляции: x(t) – модулируемый, несущий сигнал; y(t) – модулирующий, полученный сигнал – модулированный. Виды: 1.Амплитудная модуляция (изменяемым параметром является амплитуда); 2.Частотная (частота); 3.Фазовая модуляция (фаза); В зависимости от того какую форму имеет несущий сигнал, выделяют: 1) модуляцию непрерывного гармонического сигнала; 2) модуляцию импульсного сигнала. Модуляция непрерывного сигнала: В каналах связи с частотным уплотнением используются сигналы высоких несущих частот. Спектры сигналов в системах управления и связи, часто находятся в областях низких частот. Поэтому для организации передачи информации возникает необходимость в модуляции, т.е. введении переносчика для сигнала сообщения. В качестве несущего выступает гармонический сигнал: X(t)=U_м*cos(ω₀t+φ₀), где U_м – амплитудная модуляция; ω₀ – частотная модуляция; φ₀ – фазовая модуляция, а (ω₀t+φ₀) – угловая модуляция. U_м →U; ω₀→ω; φ→ φ₀ Модуляция импульсных сигналов: В цифровых системах связи переносчиком информации выступает последовательность видеоимпульсов, основными характеристиками которой являются ампдитуда – U_m, длительность импульса – τ, период последовательности – T. Чем больше скважность q (q=T/τ), тем меньше энергия импульсного сигнала по сравнению с энергией непрерывного сигнала (при равных амплитудах). Выражение для последовательности импульсов: , где r() – функция, описывающая форму одиночного импульса. Процесс изменения параметров импульсной последовательности сигнала переносчика называют импульсной модуляцией. В соответствии с параметрами импульсной последовательности изменяемыми при модуляции различают: амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), фазоимпульсную модуляцию (ФИМ), частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ). Амплитудно-импульсная модуляция – это модуляция, при которой изменяется амплитуда последовательности импульсов - переносчиков сигнала. Изменение амплитуды U_m происходит в соответствии с модулирующим сигналом.

Демодуляция. Процесс выделения низкочастотного модулирующего сигнала из модулированного высокочастотного сигнала. Является процессом обратным модуляции. При непрерывной модуляции демодуляцию можно представить как процесс детектирования, который состоит из двух частей:

1. Создание низкочастотного сигнала, на основе модулированного высокочастотного – используются детекторы; 2. Отфильтрования полезного низкочастотного сигнала от высокочастотных колебаний с помощью – используются фильтры.

21. Амплитудная модуляция. Спектр амплитудно-модулированного сигнала. Обобщенная схема построения амплитудно-модулированного сигнала. При амплитудной модуляции гармонического сигнала воздействию подвергается его амплитуда, которая изменяется во времени в соотвестствии с передаваемым сигналом сообщения. Обобщенная схема формирования амплитудно-модулированного сигнала (АМС):

П ри амплитудной модуляции результирующий (амплитудно-модулированный) сигнал записывается в следующем виде: , где - предельное изменение низкочастотного модулирующего сигнала (амплитуда модулирующего сигнала); y(t) – функция модулирующего сигнала; = М – коэффициент (глубина) амплитудной модуляции. В качестве огибающего сигнала выступает,

модулирующий, в качестве заполняющего – несущий сигнал. Коэффициент модуляции принимают 0<М<1. В противном случае возникают искажения, называемые перемодуляцией. Кроме того, для неискаженной передачи необходимо, чтобы эффективная ширина спектра сигнала сообщения была мала по сравнению с частотой несущего сигнала:

- требование узкополосности, которое записывают в виде: . Если y(t) является гармоническим сигналом: y(t)=cos(ωt+Ф), то

Спектр АМС состоит из трех составляющих: несущей частоты ω₀; с частотой ω₀ -Ω и частотой ω₀+Ω. Две последних гармоники называют боковыми полосами.

Таким образом, ширина спектра АМС равна

В общем случае, модулирующий сигнал может быть сложным, тогда ширина спектра АМС определяется

, где ω_в - верхняя частота спектра модулирующего сигнала.

Мощность передатчика при АМ используется неэффективно. Для устранения этого недостатка применяют(АМ-ПН)-АМ с подавляющей несущей, которую также называют балансной модуляцией (БМ). Еще более эффективной разновидностью АМ является однополосная модуляция (ОМ), которая содержит одну боковую полосу на частоте (ω₀+Ω). При ОМ вся мощность передатчика тратится на передачу «информационного» сигнала.