12. Параметричний тест Голдфелда-Квондта

Цей тест застосовується в основному для невеликих вибірок. В основу цього тесту покладено припущення, що дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрату однієї з пояснюючих змінних x_j, тобто розглядається випадок коли , де - невідомий коефіцієнт пропорційності (константа). Залишки, при цьому розподілені за нормальним законом і некорельовані.

Алгоритм тесту

Крок 1. Виконується впорядкування (ранжування) спостережень у статистичній вибірці в порядку зростання (або спаду) значень пояснюючої змінної x_j.

Крок 2. З усіх спостережень впорядкованої вибірки відкидається с спостережень, які містяться у центрі вибірки. Ця кількість згідно рекомендацій авторів тесту визначається із співвідношення

. ( 6 )

У результаті цього утворюються дві підвибірки розміром .

Крок 3. Для кожної підвибірки на основі 1МНК будується окрема регресійна модель.

Крок 4. Для кожної підвибірки визначається сума квадратів залишків SSE₁ і SSE₂:

, ( 7 )

, ( 8 )

де е_1,i – залишки для першої моделі (побудованої на основі першої підвибірки), е_2,i –залишки для другої моделі(побудованої на основі другої підвибірки) .

Крок 5. Для порівняння зазначених дисперсій обчислюється наступна F – статистика (критерій Фішера ) :

, ( 9 )

яка порівнюється з табличним значення F – критерію F_табл,, що визначається за статистичними таблицями F – розподілу Фішера для заданого рівня значимості  і ступенів вільності , де n – загальна кількість спостережень, k – кількість параметрів моделі, с – кількість відкинутих спостережень.

Якщо виконується умова F* > F_табл, то гетероскедастичність присутня. У протилежному випадку маємо випадок гомоскедастичності. Слід зазначити, чим більше значення критерію F, обчисленому за виразом ( 8 ), тим більше ефект гетероскедастичності стохастичної складової моделі.

13. Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів використовується так званий узагальнений метод найменших квадратів (УМНК) , або метод Ейткена. Свою назву метод отримав внаслідок його застосування для оцінювання параметрів моделі, для якої дисперсійно-коваріаційна матриця стохастичної складової моделі приймається у найбільш загальному вигляді ( 3 ), тобто допускається одночасно і гетероскедастичність і автокореляція залишків.

В основу методу Ейткена покладено ідею трансформації економетричної моделі, якій притаманна гетероскедастичність у класичну гомоскедастичну с подальшим застосуванням до такої трансформованої моделі процедури 1 МНК для оцінювання параметрів узагальненої моделі, якій притаманна гетероскедастичність. Трансформація вихідної моделі у гомоскедастичну відбувається шляхом корегування вихідної статистичної інформації стосовно змінних моделі. Спосіб і форма корегування вихідних даних визначаються, при цьому , формою залежності дисперсії стохастичної складової  від тієї чи іншої пояснюючої змінної моделі.

Розглянемо більш докладно цей метод. Нехай є економетрична модель

, ( 10 )

для якої , де - як і раніше, деяка невідома константа , S – відома квадратна додатньо визначена матриця розмірністю nn, яка у випадку гетероскедастичності ,як показано раніше, є діагональною матрицею і має наступний вигляд :

, ( 11 )

де - власні значення цієї матриці.

Оскільки матриця S симетрична і додатньо визначена, то використовуючи теорію матриць її можна подати у наступному вигляді:

, ( 12 )

де матриця P є не виродженою і має вигляд

, ( 13 )

а обернена до неї відповідно :

. ( 14 )

Базуючись на особливостях матриць S i P запишемо деякі співвідношення між ними і оберненими до них :

( 15 )

і . ( 16 )

Помноживши рівняння ( 10 ) на матрицю P^-1, дістанемо :

( 17 )

Введемо наступні позначення : .

Тоді модель матиме вигляд:

. ( 18 )

Використовуючи ( 16 ) можна показати, що для цієї перетвореної моделі гетероскедастичність відсутня, оскільки

,

що дає змогу застосувати до трансформаційної моделі (18) 1МНК . Тоді отримаємо :

,

або з врахуванням ( 16 ) остаточно

. ( 19 )

Таким чином, якщо матриця S відома, за формулою ( 19 ) можна завжди обчислити оцінки параметрів моделі у разі гетероскедастичності. Проблема полягає у визначені власних Оскільки дійсні значення випадкової величини  _,як правило невідомі, значення _і у матриці S можна обчислити користуючись різними гіпотезами відносно зв’язку дисперсії і деякої пояснюючої змінної х_j. В основному при цьому використовуються наступні 2 гіпотези.

Гіпотеза 1. Дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснюючої змінної х_{j -} . Тоді величини _і визначається як:

. ( 20 )

Гіпотеза 2. Дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрату пояснюючої змінної х_j - . Величини _і визначається для цієї гіпотези як:

.

14. Автокореляцією залишків називається залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі .

Негативними наслідками цього, як і у випадку гетероскедастичності, буде :

1. завищені значення дисперсії параметрів моделі ;

2. помилки при використанні t – тестів і F – тестів ;

3. неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великою дисперсією.