Вариант 19.

№ 13.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.

Дано: ABC, AC = AB = 10, BC = 16

Найти: r

Решение.

S_ =

r =

Ответ:

№ 14.

В треугольнике со сторонами 4 см, 5 см и 8 см найдите длину медианы, проведённой из вершины большего угла.

Д ано: ABC, AC = 4, AB = 5, BC = 8

Найти: длину медианы, проведённой из вершины большего угла.

Решение.

Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, поэтому медиана проведена к стороне BC = 8.

m² =  m = = .

Ответ:

№ 15.

Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике середина отрезка, соединяющего середины его диагоналей, совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Д ано: ABCD – выпуклый четырёхугольник, ВE =DE, AF=CF, EG₁= =FG₁, AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND, KMLN = G₂

Доказать: G₁ G₂

Доказательство.

Введём произвольную систему координат. Пусть координаты точек A, B, C, D равны соответственно (a₁; a₂), (b₁; b₂), (c₁; c₂), (d₁; d₂). Тогда координаты точек E, F, K, L, M, N как середин отрезков равны соответственно ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). Так как G₁ – середина EF, то её координаты равны ( ; ). Заметим, что точка G₁ является также серединой отрезков KM и LN, поскольку её координаты являются координатами середин этих отрезков, значит, точка G₁ лежит одновременно на отрезках KM и LN, то есть KMLN = G₁. Но по условию KMLN = G₂  G₁ G₂, ч.т.д.

Вариант 20.

№ 13.

Б иссектриса CD прямого угла треугольника ABC делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Дано: ABC, C = 90, CD – биссектриса ABC, AD = 15, DB = 20

Найти: AC, BC

Решение.

По свойству биссектрисы угла треугольника:   AC = BC. По теореме Пифагора AC² + BC² = AB² = (AD +DB)² = 35²  ( BC)² + BC² = 35²  BC² + +BC² = 35²  BC² = 35²  BC = 35  BC = = 28  AC = = 21.

Ответ: AC = 21, BC = 28.

№ 14.

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Д ано: ABC, AA₁, BB₁, CC₁ – медианы ABC, O – точка пересечения медиан, AA₁ = 1,5BC

Найти: BOC

Решение.

Поскольку O – точка пересечения медиан, AA₁ – медиана, то  AA₁ = 3OA₁. Так как A₁ – середина BC, то BA₁ = A₁C = 0,5BC. AA₁ = 1,5BC  3OA₁ = 1,5BC  OA₁ = 0,5BC = BA₁ = =A₁C  треугольники OBA₁ и OCA₁ – равнобедренные  OBC = BOA₁, A₁OC = BCO, а так как OBC + BOA₁ + A₁OC + BCO = 180, то 2BOA₁ + 2A₁OC = 180  BOC = 90.

Ответ: BOC = 90.

Учебное пособие составлено на основе решений учащихся МОУ лицей №1 г.Комсомольска – на – Амуре Замана К. и Мельниченко А. под руководством

Будлянской Н.Л., учителя математики высшей категории.

Решебник к сборнику заданий А.Д.Блинкова, Т.М.Мищенко

для проведения экзамена по геометрии

в 9 классе

(задания второй части итоговой аттестационной работы).

Сдано в печать 13.11.2008

Подписано к печати 15.11.2008

Печать офсетная. Бумага офсетная.

Формат 60 x 84 1/16.

Усл.п.л. 3,3. Уч.-изд. л. 4,1

Тираж 200 экз.

Отпечатано в ЗАО «Аквилон»

681010, г.Комсомольск-на-Амуре

Ул. Парижской Коммуны, 36/2, тел.:(4217)53-43-11