2.3.4. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (закон Гаусса) с параметрами a и , если её плотность вероятности имеет вид:
,
где >0.
График дифференциальной функции нормального закона НСВ X имеет вид:
Обозначим через
множество СВ, распределенных по
нормальному закону с параметрами
и
.
Интегральная функция распределения
нормальной СВ XN(a;
) равна
.
График интегральной функции нормального закона НСВ X имеет вид:
Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и . Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Выясним вероятностный смысл этих параметров.
1) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины
=(Приняв по внимание, что новые пределы интегрирования равны старым)=
=(Первый интеграл: под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат.
Второй интеграл: интеграл Пуассона
.)
Итак,
,
т.е. математическое ожидание нормального
распределения равно параметру a.
2) По аналогии можно показать, что
дисперсия непрерывной случайной
величины, которая распределена по
нормальному закону распределения, равна
,
где - второй параметр
нормального распределения.
Следовательно,
.
Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .
Применение: Надо отметить, что по нормальному закону распределено большое количество случайных величин. Этому закону подчиняется распределение роста двадцатилетнего мужчины; вес женщины, рост которой равен 170 см; дальность полета снаряда; результат измерения длины, массы, времени и т.д.
Нормированным (стандартным)
называют нормальное распределение с
параметрами a=0 и =1.
Например, если X –
нормальная величина с параметрами a
и , то
– нормированная нормальная величина,
причем M(U)=0,
.
Множество нормированных нормальных
распределений обозначим N(0;
1).
Дифференциальная функция нормированного распределения
.
Эта функция табулирована (таблица локальной функции Лапласа).
Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:
.
Эта функция тоже табулирована.
Вероятность попадания нормированной
нормальной величины X
в интервал (0; x) можно
найти, используя функцию Лапласа
,
т.е. покажем, как взаимосвязаны интегральная
функция Лапласа и интегральная функция
нормированного распределения.
.
Учитывая, что
и, следовательно, в силу симметрии (x)
относительно нуля,
.
Значит,
.
Тогда
.
Итак,
.
Мы уже знаем, что если случайная величина X задана дифференциальной функцией p(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), такова:
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x1; x2), равна
.
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно
было пользоваться готовыми таблицами.
Введем новую переменную
.
Отсюда
.
Найдем новые пределы интегрирования.
Если
,
то
;
если
,
то
.
Таким образом, имеем
(Воспользуемся
функцией Лапласа)=
.
Итак, получаем
.
(2.15)
Пример 2.9. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (16; 52).
Решение. По условию
.
Следовательно,
.
По таблице значений интегральной функции
Лапласа определяем
и
.