3.6. Определение порядка передаточной функции

Выше предполагалось, что порядок передаточной функции модели выбирается априорно, и задача расчета сводится к определению параметров модели.

При таком подходе структура объекта может существенно отличаться от структуры модели, содержать трансцендентные члены и т.д. Близость объекта и модели понимается в смысле равенства определенного числа площадей (или моментов) объекта и модели.

Будем предполагать, что объект также описывается передаточной функцией вида.

Покажем, что в этом случае, используя метод площадей, можно определить порядок передаточной функции объекта и ее параметры.

Пусть порядок передаточной функции равен . Для простоты примем . Тогда

(54)

Коэффициенты должны удовлетворять любому из уравнений (48).

Запишем систему из уравнений (48) с учетом (54) для , , :

(55)

Для того, чтобы система (55) имела единственное решение ее определитель должен быть равен нулю.

. (56)

Из условия (56) может быть определен порядок передаточной функции объекта.

Можно предложить следующий алгоритм определения порядка :

1. Для последовательно вычисляется определитель ;

2. Значение , при котором определяет порядок .

При практических расчетах значения площадей определяется с погрешностью, вызванной как неточностью определения переходной кривой, так и ошибками численного интегрирования. Поэтому условие может выполняться лишь приближенно,

. (57)

Для оценки величины целесообразно использовать критерий:

, (58)

где – некоторая достаточно малая величина.

Порядок может быть вычислен и непосредственно с использованием моментов.

4. Преобразование Лапласа

При рассмотрении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно использовать преобразование Лапласа, так как оно решение дифференциальных уравнений сводит к алгебраическим операциям.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

(59)

ставящее функции x{t) вещественного переменного в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s . При этом x(t) называют оригиналом, X(s) — изображением или изображением по Лапласу и s переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.

Предполагается, что функция x(t), подвергающаяся преобразова­нию Лапласа, обладает следующими свойствами:

1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интер­вале ;

2. x(t) = 0 при t < 0;

3. существуют такие положительные числа с и М, что при .

Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функ­цией-оригиналом.

Соотношение

(60)

определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = > с.

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде

где L – оператор Лапласа, a обратный оператор Лапласа.

Основные свойства преобразования Лапласа.

1°. Свойство линейности. Для любых постоянных и

т. e. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преоб­разований слагаемых, и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.

2°. Дифференцирование оригинала. Если производная x(t) является функцией-оригиналом, то

где . Здесь запись обозна­чает, что t стремится к нулю, оставаясь положительным (предел справа).

Если п-я производная является функцией-оригиналом, то

Здесь .

При последняя формула прини­мает вид

Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференциро­ванию оригинала соответствует умножение изображения на s.

3°. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сво­дится к делению изображения на s:

4°. Теорема запаздывания. Для любого

5°. Теорема о свертке (умножении изображений). Если и оригиналы, a и - их изображения, то

Интеграл в правой части называют сверткой функций и его обозначают

Поэтому

6°. Теоремы о предельных значениях. Если x(t) оригинал, а Х(s) — его изображение, то

и если существует предел то

7°. Теорема разложения. Если Х(s)=B(s)/A(s) является дробно- рациональной функцией (A(s), B(s) - полиномы от s) и степень по­линома числителя меньше полинома знаменателя, то ее оригиналом является функция

(61)

где корни уравнения A(s)= 0, — их кратности и q — число различных корней. Если указанные корни простые, то

(62)

Здесь n – степень полинома A(s) и

Формулы (61) и (62) справедливы при . При t < 0 по определению функции-оригинала .