9.3. Уравнение Шредингера для стационарных

состояний

На практике во многих случаях потенциальная энергия - не зависит от времени, т. е. силовое поле является стационарным. В этом случае и волновую функцию , которая является решением полного уравнения Шредингера, можно представить в виде

т. е. как произведение двух функций, зависящих от разных переменных.

Рассмотрим движение микрочастицы вдоль (плоский случай), тогда и уравнение имеет вид:

.

После подстановки

.

Разделим переменные, для чего обе части тождества умножим на величину , тогда

.

В этом тождестве левая часть является функцией от времени, а правая - от координаты. Тождество справедливо, если обе части равны const. Пусть const = , где - полная энергия микрочастицы, тогда

или

Анализ:

1) Для микрочастицы, движущейся в пространстве (объемный случай),

или .

2) Функции или , зависящие только от координат, называются амплитудой волновой функции , так как = .

3) Дифференциальные уравнения для функций и называются амплитудными уравнениями Шредингера.

4) Дифференциальное уравнение первого порядка

имеет решение , где - одно из собственных значений энергии.

5) С учетом п. 4. = есть

Найдем или .

После соответствующей подстановки

или

.

Вероятность нахождения микрочастицы в объеме не зависит от времени. Такое распределение называется стационарным. Отсюда, амплитудное уравнение Шредингера описывает стационарное состояние микрочастицы.

9.4. Соотношение неопределенностей

В классической механике (см. "Механика . . . ". Лекция 3) было показано, что если материальная точка движется, то:

а) Ее состояние однозначно определено с помощью 3-х координат ( ) и 3-х составляющих импульса ( ), причем в любой момент времени эти величины имеют строго определенные значения и могут быть измерены.

б) Существует траектория движения материальной точки.

в) Если известна сила (причина движения), действующая на материальную точку, то можно определить для любого , т. е. рассчитать все параметры движения, например, ускорение - .

г) Для плоского случая (движение материальной точки вдоль оси )

или

Последние соотношения определяют принцип причинности в классической механике, т. е. любое явление имеет причину, его вызывающую.

Рассмотрим движение материальной точки при квантовом подходе. Пусть движется (вдоль ) микрочастица, которая имеет импульс . Согласно представлениям де – Бройля такой микрочастице соответствует волна с , но волна является протяженным объектом (определена - < < +), поэтому интервал х, в котором локализована микрочастица с , есть  =  или ₂ -

- ₁ =  = . Таким образом, микрочастица, обладающая определенным значением импульса ( ), не имеет определенной координаты ( ) и наоборот.

Из полученного следует:

1) Из-за двойственной природы микрочастица не имеет одновременно определенных координат и составляющих импульса. В классической механике для материальной точки они определены и в любой момент времени могут быть измерены.

2) Степень точности с какой к микрочастице может быть применено представление о ее определенном положении в пространстве задается соотношениями

или

которые называются соотношениями неопределенностей или соотношения В. Гейзенберга. Это один из основных законов квантовой механики.

3) Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определена - координата микрочастицы, тем неопределеннее становится численное значение составляющей импульса и наоборот.

4) В квантовой механике теряет смысл понятие траектории движения, которое нельзя связать с волновыми свойствами микрочастицы.

5) Из соотношения неопределенностей между координатой и составляющей импульса (и наоборот) следует соотношение неопределенностей между энергией и временем

.

После подстановки

или

Соотношение неопределенностей справедливо и для квантовых систем: "Любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают определенные (точные) значения". Математически это можно записать как , т. е. произведение - не может быть меньше величины порядка .

Из данного определения следует:

1) Ввиду малости величины данное соотношение существенно только на микроуровне (для микрочастицы или атомов) и не проявляется в опытах с макроскопическими телами.

2) Никакой эксперимент не может привести к одновременному точному измерению величин и , причем неопределенность связана не с процессом и приборами для измерений, а объективными свойствами материи.

3) Микрочастица из - за двойственной природы при взаимодействиях ведет себя неоднозначно, причем каждое из возможных проявлений осуществляется с определенной степенью вероятности. Система одна, опыты одни и те же, а результаты будут разными, однако, некоторые из результатов наиболее вероятны, т. е. проявляются чаще других. Частота их появления пропорциональна и проявляться чаще будут те, которые расположены вблизи максимума волновой функции.

4) При получении информации об одних величинах теряется информация о других, дополнительных к первым. Это в квантовой механике называется принципом дополнительности. Например, координата - скорость, координата - импульс, кинетическая - потенциальная энергии и т. д. Это объективный принцип квантовых систем.

5) В квантовой механике принцип причинности выражается в уравнении Шредингера, связывающем волновую функцию, зависящую от координат и времени, с величиной силового поля (потенциальной энергией), характеризующей взаимодействие в квантовой системе.