Тема 11

Изучение вынужденных колебаний

1. Вынужденные колебания

2. Параметры вынужденных колебаний

3. Явление резонанса

Основные понятия по теме

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую активное сопротивление R, конденсатор С, катушку индуктивности L и источник переменного напряжения U (рисунок 11.1).

Рисунок 11.1 – Электрическая цепь, содержащая R, С, L

и источник переменного напряжения

В соответствии со вторым законом Кирхгофа полная Э.Д.С., действующая в цепи, равна сумме падений напряжения на всех участках цепи

(11.1)

Здесь  напряжение на катушке, равное с обратным знаком Э.Д.С. самоиндукции, возникающей в катушке, – падение напряжения на активном сопротивлении,  разность потенциалов обкладок конденсатора. Дифференцируя уравнение (11.1) по времени и учитывая, что dq/dt = I, получим:

(11.2)

Наибольший интерес представляет анализ гармонического переменного тока, поскольку с помощью преобразования Фурье произвольный ток может быть представлен в виде совокупности гармонических составляющих. Для удобства дифференцирования силу тока и напряжение в цепи представим в комплексной форме

, , (11.3)

где I₀ и U₀  некоторые комплексные числа. При этом необходимо иметь ввиду, что ток и напряжение, как реальные физические величины, должны описываться действительной частью выражений (11.3). Поэтому, после выполнения преобразований согласно (11.2), в найденных решениях необходимо выделить действительную часть. Поскольку уравнение (11.2) является линейным, то окончательный результат будет таким же, как и в случае выполнения преобразования только над действительной частью выражений (11.3). Подставляя (11.3) в уравнение (11.2), после дифференцирования получаем:

(11.4)

Разделив обе части уравнения на , можно записать (11.4) в виде

, (11.5)

выражающем закон Ома для цепи переменного тока. Комплексная величина

(11.6)

называется импедансом, она играет роль сопротивления цепи, зависящего от частоты тока . Импеданс характеризует соотношение между амплитудами и фазами тока и напряжения в цепи, содержащей активное сопротивление, емкость и индуктивность.

Зависимость между током и напряжением (11.5) можно проиллюстрировать графически, путем представления комплексных величин векторами на комплексной плоскости. При этом гармонически изменяющаяся величина изображается вектором, вращающимся с частотой  вокруг начала координат против часовой стрелки. Длина вектора равна амплитуде колебаний рассматриваемой физической величины, а угол между вектором и осью ОХ равен фазе колебаний. Совместим ось ОX с вектором силы тока I в произвольный момент времени (рисунок 11.2), тогда вектор падения напряжения на активном сопротивлении U_а = IR также будет направлен вдоль оси ОХ. Падение напряжения на катушке и конденсаторе соответственно равно

, (11.7)

. (11.8)

При определении ориентации векторов U_L и U_C необходимо учесть, что, согласно формуле Эйлера, . Следовательно, умножение произвольной комплексной величины на эквивалентно повороту вектора на комплексной плоскости на угол без изменения длины этого вектора:

. (11.9)

В соответствии с этим правилом, напряжение на катушке (формула 11.7) всегда опережает по фазе силу тока на , а напряжение на конденсаторе (формула 11.8) отстает по фазе от силы тока на . Построив на комплексной плоскости векторы U_L и U_c, можно графически определить полное напряжение как сумму падений напряжения на всех участках цепи.

Рисунок 11.2 – Векторная диаграмма цепи R, С, L, если индуктивное сопротивление больше емкостного

Векторная диаграмма цепи (рисунок 11.2) показывает, что полное напряжение U может как опережать по фазе силу тока, так и отставать от нее. При этом сдвиг фаз между током и напряжением в цепи определяется выражением

, (11.10)

а амплитуда напряжения и силы тока связаны соотношением:

. (11.11)

Формула (11.10) показывает, что сдвиг фаз между током и напряжением может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от соотношения параметров цепи и частоты тока. Для частоты тока , совпадающей с собственной частотой колебательного контура, сдвиг фаз  равен нулю. В этом случае напряжение на конденсаторе и катушке взаимно компенсируются (они равны по величине, но противоположны по знаку, поскольку имеют относительно друг друга сдвиг фаз, равный ). Сила тока такая же, как при отсутствии в цепи реактивных элементов, то есть принимает максимальное значение (в последовательной цепи имеет место резонанс напряжений).

Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи переменного тока можно определить с помощью электронного осциллографа. Допустим, необходимо измерить сдвиг фаз между двумя гармоническими сигналами одинаковой частоты. Подадим эти сигналы на горизонтально и вертикально отклоняющие пластины осциллографа. Тогда смещения электронного луча по горизонтали и вертикали будут изменяться с течением времени следующим образом:

, , (11.12)

здесь   частота колебания,   искомый сдвиг фаз, x₀ и y₀  максимальные отклонения электронного луча, зависящие от амплитуды исследуемых сигналов и коэффициентов усиления соответствующих каналов осциллографа. Исключая время t, в результате тригонометрических преобразований из (11.12) можно получить уравнение эллипса, описываемого электронным лучом на экране осциллографа:

, (11.13)

Ориентация этого эллипса относительно осей ОХ и ОY зависит как от сдвига фаз , так и от максимальных смещений луча x₀, y₀. Перейдем к системе координат Х′ОY′, оси которой повернуты на угол /4 относительно осей ХОY. В соответствии с правилом преобразования координат при повороте на угол , получаем

В случае равенства амплитуд x₀ = y₀, выполнения которого можно добиться регулировкой коэффициентов усиления каналов осциллографа, уравнение эллипса в повернутой системе координат запишется в канонической форме

где ,  главные полуоси эллипса (рисунок 11.3). Измерив непосредственно на экране осциллографа длину больших полуосей, можно определить сдвиг фаз исследуемых колебаний.

Рисунок 11.3 – Определение сдвига фаз

с помощью осциллограммы