Поверхні обертання

Означення 3.1. Нехай у деякій площині лежить пряма І і крива L. Поверхня, яка утворюється внаслідок обертання кривої L навколо прямої l, називається поверхнею обертання (рис. 4).

П ри цьому пряма І називається віссю обертання, а крива L - твірною або меридіаном поверхні обертання. Кожна точка М кривої L при цьому обертається по колу, площина якого перпендикулярна до осі l, а центр знаходиться на осі І. Це коло називається паралеллю поверхні обертання.

Складемо рівняння поверхні обертання.

Рис.3

Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОZ збігалася з віссю обертання І, а лінія L, яка обертається, була розміщена в площині ОYZ (рис.5). Нехай крива L у системі координат ОYZ задається рівнянням

F (у; z) = 0, (5)

а точка М(х; у; z) - довільна точка поверхні обертання. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі ОZ. Вона перетне поверхню по колу, яке є паралеллю даної поверхні обертання. Припустимо, що це коло перетинається з лінією L у точці М₀(у₀; z₀). Оскільки точка М₀ є L, то її координати задовольняють рівняння (5):

F(y₀ ;z₀ )=0 (6)

Р ис.4

Центр цього кола позначимо О'. О'М — радіус паралелі, тому О'М = О'М0. Але якщо точку М спроектувати на площину ОХY, то її

проекцією буде точка М'(х; у) і О'М = ОМ' = √х² + у² , а О'М₀ = ׀y₀׀

Звідси випливає, що |y₀| =

або y₀ =

Рис.5

Підставивши одержані формули в (6),отримаємо

F( (7)

Отже, координати довільної точки М поверхні обертання задовольняють рівняння (7).

Припустимо тепер, що координати деякої точки N(x₁;y₁;z₁) задовольняють рівняння (7), тобто

F( (8)

Покажемо, що ця точка належить даній поверхні обертання. Проведемо через точку N площину, перпендикулярну до осі ОZ (рис. 6).

Припустимо, що ця площина перетинає вісь ОZ у точці О'. Побудуємо в цій площині коло з центром О' радіусом О'N. Нехай це коло перетинає площину ОYZ в точці М(₀(у₀; z₀). Тоді O^, N=

Звідси випливає, що y₀₌ якщо y_{0 ,} і y₀=- якщо y₀ > 0.

Крім того, оскільки точки N і М₀ лежать у площині, паралельній до площини ОХY, то z₁ = z₀. Тоді рівність (8) запишеться так: F(y₀; z₀) = 0, звідки випливає, що точка М₀ належить меридіану, а це означає, що точка N лежить на даній поверхні обертання.

Отже, рівняння (7) - рівняння поверхні обертання.

Аналогічно можна встановити, що коли крива задана рівнянням F(у; z) = 0 у площині ОYZ і обертається навколо осі ОY, то рівняння поверхні обертання матиме вигляд F(y;

Якщо крива знаходиться у площині ОХZ, задана рівнянням F(х; z) = 0 і обертається навколо осі ОХ, то рівняння поверхні обертання

F (x; .

В результаті приходимо до такого правила складання рівняння поверхні обертання: щоб скласти рівняння поверхні обертання, необхідно в рівнянні лінії, яка обертається, залишити без змін ту змінну, яка відповідає осі обертання, а другу змінну замінити на корінь квадратний, взятий зі знаками «+» та «-», з суми квадратів цієї ж змінної і тієї змінної, яка відсутня в рівнянні кривої.

Рис. 6

Приклад. Дано еліпс, розміщений у площині ОYZ:

Записати рівняння поверхні обертання, утвореної при обертанні цього еліпса навколо осі ОZ.

Розв'язання. За формулою (7) рівняння цієї поверхні обертання має вигляд:

Ця поверхня називається еліпсоїдом обертання

Еліпсоїд

Означення 6.1. Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

(17)

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпсоїда, а система координат, відносно якої задано цей еліпсоїд, називається канонічною системою координат.

Аналізуючи рівняння (17), дослідимо основні властивості еліпсоїда, визначимо його форму і побудуємо зображення.

Не втрачаючи загальності, можна вважати, що а > 0, b > 0, с > 0.

Властивості еліпсоїда.

1. Еліпсоїд не проходить через початок координат, бо координати точки О(0; 0; 0) не задовольняють рівняння (17).

2. Еліпсоїд перетинає кожну із координатних осей у двох точках, симетричних відносно початку координат, а саме:

вісь ОХ у точках А₁(а; 0; 0) і А₂(-а; 0; 0),

вісь OY у точках В₁(0; b; 0) і В₂(0; -b; 0),

вісь OZ у точках С₁(0; 0; с) і С₂(0; 0; -с).

Ці точки називаються вершинами еліпсоїда, відрізки A А₂ = 2а, В В₂ = 2b, C C₂ = 2с- осями еліпсоїда, числа а, b, с - півосями еліпсоїда.

3.Еліпсоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, бо всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

4. Із рівняння (17) випливає, що 1, тобто а,

с.

Це означає, що еліпсоїд є обмеженою поверхнею, яка міститься всередині прямокутного паралелепіпеда, обмеженого площинами х = ±а, у = ±b, z = ±с.

5.Якщо еліпсоїд перетнути площиною 2 = h (h\ < с), паралельною площині OXY, то в перетині утвориться еліпс, рівняння проекції якого на площину OXY у системі координат цієї площини має вигляд:

.

Розміри цього еліпса збільшуються зі зменшенням і зменшуються зі збільшенням |h|.

Аналогічне спостерігається і при перетині еліпсоїда площинами, паралельними до інших координатних площин.

Виходячи із цих властивостей можна побудувати зображення еліпсоїда (рис. 17).

Рис.17

Якщо в рівнянні (17) два параметри рівні між собою, наприклад, а = b, то дістанемо поверхню обертання - еліпсоїд обертання:

Рис. 18

Ця поверхня утворена внаслідок обертання еліпса з півосями а, с навколо осі OZ.

Якщо ж а = b = с, то із (17) матимемо:

x²+y²+z²=a².

Це рівняння сфери з центром у початку координат. Отже, сфера є частковим випадком еліпсоїда. Справедлива й така теорема.

Теорема 3. При перетині еліпсоїда довільною площиною в перерізі утворюється еліпс.

Доведення. Оскільки еліпсоїд є обмеженою поверхнею, то при перетині його з будь-якою площиною утвориться обмежена крива другого порядку (див. теорему 1). Тому ця крива не може бути ні параболою, ні гіперболою, ні парою прямих. Отже, вона є еліпсом, що й треба було довести (рис. 18).■

Приклад. Записати рівняння еліпсоїда, осі якого збігаються з осями координат, і який проходить через точку М(2; 0: 1) та перетинає площину OXY по еліпсу

(18)

Розв'язання. Якщо осі координат збігаються з осями еліпсоїда, то ця система координат є канонічною, тому рівняння еліпсоїда матиме вигляд:

(17)

Площина ОХУ перетинає цей еліпсоїд по еліпсу = 1 . Зіставляючи останнє рівняння із (18), матимемо: а² = 8, b²= 1. Тоді рівняння (17) набуде вигляду: = 1.

За умовою точка М(2; 0; 1) лежить на цій поверхні, тому

звідки с² = 2.

Отже, рівняння даного еліпсоїда = 1.

Відповідь. = 1.