14. Формула кинетической энергии твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси:

,

где w – угловая скорость; J – момент инерции.

Твердое тело характеризуется моментом инерции относительно какой-либо оси независимо от того, вращается тело относительно этой оси или нет. Определить момент инерции твердого тела можно аналитически, применяя для расчета известные формулы, и экспериментально, изучая его вращательное движение. Рассмотрим один из способов экспериментального определения момента инерции твердого тела относительно закрепленной оси вращения.

Пусть блок в виде однородного диска может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр масс. Если к концам нити, перекинутой через блок, подвесить грузы одинаковой массы , то очевидно, система блокнитьгрузы будет неподвижна.

Рис. 1

На один из грузов массой положим перегрузок некоторой массы , такой, чтобы грузы и блок пришли в движение. Применяя второй закон Ньютона к каждому из грузов, подвешенных к концам нити, можно записать следующие уравнения движении для них (см. рис. 1).

, (1)

. (2)

Согласно основному закону динамики вращательного движения для блока уравнение движения будет иметь вид:

, (3)

где J – момент инерции блока относительно оси вращения; – его угловое ускорение; – момент силы трения покоя между нитью и блоком (именно эта сила заставляет блок вращаться);  момент силы трения на оси закрепления блока относительно оси его вращения.

Запишем уравнение (1), (2) и (3) в проекциях на оси ОУ и ОХ соответственно:

, (1)

, (2)

. (3)

Учтем, что сила трения покоя между нитью и блоком обусловлена равностью сил натяжения нити и . Тогда:

, (4)

где R – радиус блока.

Так как то вместо (1)  (3) и (4) получим:

, (5)

, (6)

, (7)

. (8)

Из равенств (5) и (6) можно найти:

. (9)

Ускорение а поступательного движения грузов можно найти по формуле:

,

где ℓ – расстояние, на которое переместился груз (или ) за время t при движении из состояния покоя. Тогда угловое ускорение блока можно найти из соотношения:

, (10)

где R – радиус блока.

С учетом соотношений (9) и (10) равенство (8) запишем так:

. (11)

Если использовать перегрузки сначала массой , а затем массой , то (при где М_б − масса блока) момент сил трения , очевидно, можно считать постоянным. Но различие масс перегрузов приведет к изменению момента сил трения покоя и углового ускорения от значений:

, (12)

(13)

до значений:

, (14)

, (15)

которые удовлетворяют выражениям, аналогичным (3):

, (16)

. (17)

Из уравнений (16) и (17) можно определить момент инерции блока:

, (18)

и момент сил трения:

. (19)

Величины J и можно определить графически, построив график функций , который в соответствии с формулой (3) имеет вид как на рис. 2 (при ).

Рис. 2