Прогноз по регрессии

Знание функциональной зависимости между двумя пе­ременными имеет существенное практическое значение, так как дает возможность составить прогноз значения результа­тивного признака в предположении, что признак-фактор примет определенное значение. Определение величины ре­зультативного признака для определенного уровня призна­ка-фактора является первым этапом при практическом ис­пользовании уравнений регрессионной зависимости.

Функциональная зависимость позволяет с определенной вероятностью по отдельному значению факторного призна­ка x₀ установить значение результативного признака y₀. Получить точечную оценку прогноза можно из уравнения регрессии , если подставить в него значение х₀.

Определение 15.10. Полученное после подстановки зна­чение у(х₀) называется точечным прогнозом зависимого или результативного признака при заданном значении факторного признака х₀.

Однако на практике не используются точечные прогно­зы, так как уравнение, построенное по эмпирическим дан­ным, не может давать точного результата. Уравнение рег­рессии дает характеристику связи лишь в среднем. Однако средняя величина должна быть дополнена показателями рассеяния, которые дадут возможность выяснить, насколь­ко показательна средняя.

Обычно точечное значение используется для построения доверительного интервала прогноза, который строится вок­руг точечной оценки. Доверительный интервал прогноза рассчитывается для заданного уровня значимости.

Определение 15.11. Под доверительным интервалом прог­ноза понимают интервал, в который с заданным уров­нем значимости α=1-γ, где γ — надежность прогноза, попадают значения результативного признака при конк­ретном (точечном) значении признака (х₀).

Для оценки степени пригодности рассчитанного уравне­ния функциональной зависимости в тех или иных практи­ческих целях нужно знать меру рассеяния эмпирических точек относительно линии.

Иногда рассеяние эмпирических точек настолько вели­ко, что нет смысла для прогнозов пользоваться рассчитан­ными уравнениями корреляционной связи, так как погреш­ность такого прогноза будет чрезвычайно велика.

В качестве меры достоверности уравнения регрессии ис­пользуют среднюю квадратичную ошибку уравнения, пред­ставляющую собой среднее квадратическое отклонение эм­пирических значений относительно значений, рассчитанных по уравнению регрессии:

(15.10)

где S_xy — средняя квадратическая ошибка вычисленных зна­чений;

у_i. — фактические значения результативного признака, полученные по данным наблюдения;

— значения результативного признака, рассчитан­ные по уравнению корреляционной связи и полученные подстановкой значений факторного признака x_i в урав­нение . Величину

(15.11)

называют остаточной дисперсией, она характеризует ту часть общей дисперсии результативного показателя, которая обус­ловлена действием прочих факторов.

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг пря­мой (см. рис. 15.2), тем меньше средняя квадратическая ошиб­ка уравнения. Таким образом, величина S_xy служит пока­зателем значимости и полезности прямой, выражающей со­отношение между двумя признаками.

Средняя квадратическая ошибка уравнения дает нам воз­можность в каждом отдельном случае с определенной ве­роятностью указать, что величина результативного признака окажется в определенном интервале относительно значения, вычисленного по уравнению связи.

Поскольку в основном для построения регрессионных моделей используются данные выборок, то зачастую интер­претация взаимоотношений между переменными в генераль­ной совокупности базируется на выборочных результатах. Для оценки истинного значения прогноза исследуемого параметра обычно используется доверительный интервал.

Доверительный интервал прогноза имеет вид:

(15.12)

где у_п — прогнозное значение результативного признака;

у_т — предсказанное значение у (точечное значение про­гноза), которое получено подстановкой в точечного значения факторного признака x_Q;

 — интервальная оценка.

Оценка интервала прогноза находится по следующей формуле:

(15.13)

где S — средняя квадратичная ошибка уравнения, рассчитывается по формуле (15.10);

t_n-2 — значение t-распределения Стьюдента для задан­ного уровня значимости и числа степеней свободы п-2;

h₀ — рассчитывается по формуле:

(15.14)

где п — объем выборки;

х₀ — заданное значение факторного признака х (точка прогноза);

х — среднее значение факторного признака в выборке.

Очевидно, что увеличение объема выборки п уменьшит длину интервала. Более того, ширина интервала также ва­рьирует с различными значениями X. Когда оценивается у_т по значениям X, близким к х ; то интервал тем уже, чем меньше абсолютное отклонение x_t от х (см. рис. 15.3).

Когда оценка осуществляется по значениям X, удален­ным от среднего х, то величина интервала возрастает.

Если прогноз по уравнению регрессии определяется для нахождения неизвестных значений внутри интервала экспе­риментальных данных факторного признака, то мы имеем дело с интерполяцией результирующего признака, если ис­комые значения выходят за этот интервал, то речь идет об экстраполяции.

При практическом использовании уравнений регрессии следует помнить, что экстраполяция допускается только тог­да, когда существенно не изменяются условия формирова­ния уровней признаков, которые лежали в основе опреде­ления функции регрессии. В противном случае использова­ние уравнений для составления прогнозов должно быть отвергнуто. Необходим новый эмпирический материал, который отразит взаимосвязь между признаками в новых условиях с определенными качественными сдвигами.