1.4.2. Статистические оценки измеряемых параметров

Если считать, что результаты измерений являются независимыми величинами, то можно воспользоваться установленным в теории вероятностей нормальным законом распределения плотности вероятности случайной величины

, (1.6)

где - измеряемый параметр, являющийся переменной величиной; - математическое ожидание (истинное значение измеряемого параметра), - дисперсия (мера рассеяния результатов измерения относительно истинного значения). Математическое ожидание и дисперсия являются характеристиками распределения.

Распределение (1.6) справедливо для непрерывного изменения параметра - , т.е. для бесконечно большой совокупности. Однако на практике приходится ограничиваться выборкой определенного размера или статистикой. Тогда можно считать, что существует такая выборка максимального объема, которая достаточно точно удовлетворяет закону (1.6) и называется генеральной совокупностью.

Понятие «достаточно точно» следует трактовать таким образом, что при имеющихся технических возможностях проведения испытаний дальнейшее увеличение объема выборки не приводит к различимым изменениям характеристик распределения.

На практике генеральная совокупность могла бы включать результаты сотен, тысяч и более измерений. Тем не менее, в большинстве случаев приходится ограничиваться выборками небольшого размера, как правило, 5…10 измерений. Очевидно, что характеристики - и становятся неизвестными величинами. Однако математическая статистика позволяет дать оценки - и , а также определить границы доверительного интервала измеренной величины. Такими оценками являются среднее арифметическое - и несмещенная выборочная дисперсия -

, . (1.7)

Кроме того, для оценки изменчивости измеряемого параметра вводится понятие коэффициента вариации

. (1.8)

По своей структуре коэффициент вариации (1.8) и коэффициент неоднородности (1.5) близки. Поэтому коэффициент вариации так же может служить количественной оценкой неоднородности свойств породы и, вообще говоря, широко используется для оценки физико-механических параметров.

По величине коэффициент вариации изменяется от десятых долей (первых единиц) процента при измерениях плотностных параметров, которые в наименьшей степени чувствительны к неоднородности породы, до 20…30% (в отдельных случаях и более) при определении прочностных характеристик пород. При малых значениях коэффициента вариации для оценки точности физико-механических параметров используются методы математической статистики, принятые в материаловедении, экспериментальной физике. При больших значениях коэффициента вариации, как правило, оценкой точности служит сам коэффициент вариации. Заметим, что в последнем случае величина коэффициента вариации учитывается при определении интервалов изменения физико-механического параметра в пределах класса, категории и др., по которым производится классификация горных пород (см., например, табл. 1.4).

В государственных стандартах при определении той или иной величины даются указания по оценке точности измерений. Существуют и отдельные документы, полностью посвященные статистической обработке экспериментальных данных, например, ГОСТ 20522-96 «Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний».

Если измеряемая величина по своей природе не может быть измерена с высокой точностью, например, пределы прочности, то для таких измерений регламентируется надежность (доверительный интервал) и задается относительная погрешность, по которым определяется необходимое количество испытаний. Например, согласно ГОСТ 21153.3-85 при испытаниях на определении предела прочности при растяжении надежность регламентирована на уровне 80%¹⁾, а относительная погрешность задана на уровне 20%. При этом необходимое количество испытаний должно быть не менее 6.

Напомним, что при обработке экспериментальных данных величину доверительного интервала при неизвестных - и в распределении (1.6) определяют по выборке размера - с помощью оценок - и , вычисляемых согласно выражениям (1.7), и распределения Стьюдента²⁾ с заданной надежностью - (в процентах), и числом степеней свободы - ( ). Окончательный результат для измеряемого параметра записывается в виде

, (1.9)

где - полуширина доверительного интервала.

Величину называют средней квадратической погрешностью результата измерения среднего арифметического. Эта величина в отличие от выборочной дисперсии (средней квадратической погрешности результатов единичных измерений в ряду измерений) при неограниченном возрастании количества измерений стремится к нулю.

В свою очередь коэффициент распределения Стьюдента - находится из уравнения

, (1.10)

где - гамма – функция. Кроме того, значения коэффициента - приводятся в соответствующих таблицах математической статистики.

Как уже отмечалось выше, при определении физико-механических параметров горных пород часто поступают иначе. Задают относительную погрешность измерения - , коэффициент вариации - и надежность - . По этим параметрам определяют необходимое число испытаний (размер выборки), используя формулу для полуширины доверительного интервала, согласно выражению

. (1.11)

По сути, выражение (1.11) представляет собой уравнение относительно - , которое элементарно решается с помощью общематематических пакетов программ.

Например, пусть заданы: = 20%, = 30% и = 80%, тогда согласно уравнениям (1.10) и (1.11) ближайшим целочисленным значением для - будет число 5, так как - = 1,54, а . В справочных приложениях стандартов обычно приводится таблица для нахождения необходимого количества испытаний. По этой же таблице решают обратную задачу – для проведенных испытаний в объеме - определяют фактическую надежность (см., например, ГОСТ 21153.3-85).

Например, имелась техническая возможность провести 8 испытаний ( = 8). При этом величина коэффициента вариации составила 24% ( = 24%). Требуется оценить фактическую надежность при - = 20%. С помощью формулы (1.11) находим, что -  = 4,041. Подставляя полученное значение для коэффициента распределения Стьюдента в нижний предел интеграла (1.10) для - , получим - = 95%.

В случае измерения физико-механических параметров, которые по своей природе в малой степени зависят от неоднородности породы (например, вышеупомянутые плотностные параметры), иногда вообще не производят оценки точности измерений в смысле вышеописанного. При этом задается величина допустимого расхождения в процентах между двумя параллельными определениями измеряемой величины.

По сути, при соблюдении методики измерений можно судить о степени однородности горной породы, так как основным источником погрешности измерений является именно это свойство испытуемого образца.

Разумеется, что не для всякого образца породы можно определить надежные параметры. Поэтому существуют стандарты, в которых регламентируются порядок отбора проб, их хранения и другие существенные условия, например, ГОСТ 21153.0-75.