3.Основные правила вычисления пределов. Замечательные пределы.

Подставить в выражение предельное значение аргумента.Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ.Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределен-ности.Преобразовать выражение сог-ласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с Правило 1. В числителе и знаменателе вынести x в max степени, если это возможно. Заметим, что =0, а , где c - любое число.Правило 2. Числитель и знаменатель разделить одновременно на (x- ), если это возможно. Необходимо иметь в виду, что ,a , где c - число, отличное от нуля.Правило 3.При вычислении пределов от иррациональных выра-жений, не попадающих в предыдущие правила, следует избавиться от корней, входящих в неопределен-ность. Возможны следующие способы:3.1.замена переменной , позволяющая извлечь корни, входящие в неопределенность;3.2. дополнение до формулы, позво-ляющей возвести корень в соответ-ствующую ему степень; здесь используются формулы: , т.е. умножаем или делим на сопряженное выражение.Правило 4.

При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрические функции, следует выделить в этом выражении первый замечательный предел: . Необходимо помнить свойства логарифмов : . Есть пределы, которыми можно пользоваться как табличными

Замечательные пределы.Первым заме-чательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю Непосредственное вы-числение предела приводит к неопределённости вида .Второй замечательный предел = . Для любого действии-тельного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство

n<x<n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒x → ∞

4.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификации.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке т.е.

. Сле-дствие.Значение предела функ-ции в точках непрерывности совпа-дает со значением функции в этих точках.Если функция у = f(х) непре-рывна в каждой точке интервала(а,b), то она называется непрерывной на интервале (а, b).Это определение распростра-няется и на случай бесконечных интервалов,т.е. проме-жутков вида (—,b), (a,+ ), (—,+). Например, функция у = х2 непрерывна на (-, +), а функция у = 1/х непрерывна на каждомиз двух промежутков: (—, 0), (0, +) Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке а справа и в точке b слева.Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. . Для выполнения условий этого определения не требуется, что-бы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функ-ция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разры-ва, но подробнее об этом поговорим ниже.Определение. Точка х0 называ-ется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.Функция назыв.непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и .Свой-ства функций, непрерывных в точке:1)если функции f(x) и g(x) непре-рывны в точке x₀, то их алгебраи-ческая сумма f(x)±g(x), произведение f(x)*g(x) и частное f(x)/g(x) (при усло-вииg(x)≠0) явл.функциями, непреры-вными в точке x₀;2)если функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x)>0, то сущ.такая окрестность точки x₀, в которой f(x)>0;3)если функцияy=f(u) непрерывна в точке u₀, а функция u=φ(x) непрерывна в точке x_0, φ(x₀)=u₀, то сложная функция y=f(φ(x)) непрерывна в очке x₀; или , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.