2.3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют нахождение интеграла по формуле

где - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему по-добен. При этом за целесообразно взять такую функцию, которая при диф-ференцировании упрощается, а за - ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Положим тогда По формуле, получаем

Пусть Согласно формуле, находим

Положим . Отсюда

.

Положим Применяем формулу интегрирования по частям:

.

Мы понизили степени на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям. Положим , откуда

В тех случаях, когда вычисление интеграла происходит в несколько этапов, целесообразно сделать проверку полученного результата, используя понятие первообразной или свойство 2) интегралов. Так, в примере 4 найдена первообразная подынтегральной функции Для проверки достаточно показать, что .

По формуле таблицу) находим:

,

т. е. .

2.4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией (или рациональной дробью) называют дробь вида где и многочлены. Рациональную функцию называют правильной, если степень m многочлена меньше степени n многочлена ; в противном случае эту функцию называют неправильной рациональной функцией (НРФ). Например,

Многочлен в числителе имеет степень m = 4, а в знаменателе степень n = 3 (m > n). Каждая НРФ разлагается на сумму

где - некоторый многочлен, степень которого меньше n, а многочлен степени m - n. Это разложение производится с помощью деления на . В частности, в примере

т. е. , а

Каждая правильная рациональная функция разлагается на сумму элементарных дробей.

Проиллюстрируем эту операцию на примере рациональной функции (см. (6)). Ее знаменатель разлагается на множители

Заметим, что у квадратного многочлена дискриминант < 0, поэтому он не имеет вещественных корней. Если же у многочлена есть корни , то он разлагается на множители

Покажем, что функция допускает представление

где A, B, C – неизвестные коэффициенты. Один из способов их нахождения заключается в следующем. Умножим обе части равенства (7) на . После сокращения общих множителей получаем

Подставим в обе части равенства (8) три значения переменной (по числу коэффициентов A, B, C). Одним из этих значений удобно выбрать значение , при котором второе слагаемое в (8) обращается в 0, т. е. . Тогда из (8) имеем: В качестве двух других значений возьмем 0 и 1. Подставляя их в (8), находим

Отсюда получаем:

Итак, коэффициенты в формуле (7) найдены:

Проверка показывает, что это разложение справедливо.

Простейшими (элементарными) дробями называют правильные дроби следующего вида:

Интегралы от первых двух дробей вычисляются с помощью таблицы интегралов.

Схему вычисления третьего интеграла рассмотрим сначала в случае и проиллюстрируем ее на примерах интегралов

Сначала в знаменателе выделяется полный квадрат с помощью формулы

В данном случае получаем

При вычислении интеграла делается теперь замена переменной . Имеем для первого интеграла:

Здесь использовалась формула (4), где .

Для второго интеграла в (10) находим

опираясь на формулу

где . Этот интеграл можно вычислить другим способом: найти корни знаменателя дроби и использовать формулу

Тогда

Применяя таблицу интегралов, придем к тому же результату. Здесь

Используя формулу (12) при , получаем:

Разберем теперь способ интегрирования дроби при на примере функции

1. Находим производную знаменателя дроби

2. Числитель дроби представляем в виде

где неизвестные числа. Для их нахождения определим значение , при котором Подставляя в обе части равенства (13), получаем Затем проделаем аналогичную операцию, полагая Находим уравнение Отсюда Итак,

3. Теперь приступаем к вычислению интеграла, используя равенство (11) и свойства интегралов:

Учитывая разложение на простейшие дроби рациональной функции в (5), получаем из (6) и (9):

где

Рассмотрим еще один способ вычисления интеграла вида . Сделаем в интеграле замену переменных и, представляя в виде суммы двух интегралов, воспользуемся формулой (4):

Разберем теперь пример на решение интеграла вида IV при A = 0, n = 2.

Преобразуем квадратный трехчлен в знаменателе дроби

и сделаем замену переменной

Полученный интеграл разобьем на 2 интеграла

где . Вычислим интеграл методом интегрирования по частям, полагая . Тогда

(постоянную С считаем равной 0). Поэтому

Отсюда и из (14), применяя формулу (4), находим:

Теперь, возвращаясь к переменной , получаем:

Рассмотрим интегралы вида , где – рациональная функция. С помощью подстановки данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Положим

Так как то разложение на простейшие дроби имеет вид

Освобождаясь от знаменателей, получим

Если , то , т.е ; если , то , т.е. B = 3/4; наконец, если , то , т. е. . Итак,

,

следовательно,