3. Метод Лагранжа

Нехай при функція приймає відповідно значення . Многочлен степеня не вище , що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:

(5)

Цей многочлен (5) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:

1. При заданій сукупності вузлових точок будова многочлена можлива тільки єдиним способом.

2. Многочлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).

У розгорнутому виді форма Лагранжа має вид:

(6)

При формула Лагранжа має вид:

, (7)

і називається формулою лінійної інтерполяції.

При одержимо формулу квадратичної інтерполяції:

(8)

4. Обернена інтерполяція

Нехай функція задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції визначити відповідне значення аргументу .

Якщо вузли інтерполяції нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (5). Для цього достатньо прийняти за незалежну змінну, а вважати функцією. Тоді отримаємо

, (9)

Розглянемо тепер задачу оберненої інтерполяції для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Припустимо, що функція f(х) монотонна і дане значення у знаходиться між і .

Замінюючи функцію першим інтерполяційним многочленом Ньютона, одержимо:

.

Звідси

,

тобто .

Розмір визначаємо методом послідовних наближень як границю послідовності:

,

де

За початкове наближення приймаємо

. (10)

Для -го наближення маємо:

. (11)

На практиці ітераційний процес продовжують доти, поки не установляться значення, що відповідають необхідній точності, причому , де – останнє зі знайдених наближень. Знайдемо , визначаємо по формулі

,

звідки

. (12)

Ми застосували метод ітерації для розв’язку задачі оберненої інтерполяції, користуючись першою інтерполяційною формулою Ньютона. Аналогічно можна застосувати цей спосіб і до другої формули Ньютона:

.

Звідси

Позначимо – початкове наближення.

Для -го наближення маємо:

(13)

Знайдемо

,

визначимо по формулі [2,3]

.

Далі розглянемо запропоновану інтерполяційну формулу Бесселя. Вона подібна до інтерполяційної формули Стірлінга і обидві вони є похідними від першої та другої інтерполяційних формул Гаусса.

5. Інтерполяційна формула Бесселя

Часто використовується інтерполяційна формула Бесселя, яка служить для знаходження значення функції у міжвузловій точці. Для виведення цієї формули скористаємось другою інтерполяційною формулою Гаусса:

у скороченому вигляді:

де х=х0+qh.

Візьмемо 2n+2 рівновіддалених вузлів інтерполювання

x-n, x-(n-1),..., x0,..., xn-1, xn, xn+1 ,

з кроком h, і нехай

yi= f(xi), (i =-n,…,n+1),

- задані значення функції y= f(x).

Якщо вибрати за початкові значення x= x0 та y= y0, то, використовуючи вузли xk

(k= 0, ±1, …, n), будемо мати:

(14)

Приймемо тепер за початкові значення х=х1 і у=у1 і використаємо вузли х1+к

(к=0, 1,..., n). Тоді

причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (14) зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині формули (14) q на q-1 і збільшивши індекси всіх різниць на 1 , отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу

(15)

Взявши середнє арифметичне формул (14) і (15), після простих перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя програма

(16)

Інтерполяційна формула Бесселя (16), як слідує з способу отримання її, представляє собою поліном, що співпадає з даною функцією y= f(x) в 2n+2 точках

x-n , x-(n-1),…, xn , xn+1.

В частинному випадку, при n=1, нехтуючи різницею ∆3y-1, отримаємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю

,

В формулі Бесселя всі члени, які містять різниці непарного порядку, мають множник q- ; тому при формула (16) значно спрощується :

Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо в формулі Бесселя (3) зробити заміну по формулі то вона приймає більш симетричний вид