1.7. Интегралы вида и .

Чтобы найти интеграл , надо предварительно преобразовать квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, выделив из него полный квадрат и затем использовать один из табличных интегралов:

(1) − если он представляет собой полный квадрат;

(9) − если он представляет собой сумму двух квадратов;

(10) − если он представляет собой разность двух квадратов.

Пример. Найти интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение

1)

2)

3)

При нахождении интеграла следует выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби. Затем ввести подстановку: линейное выражение в знаменателе дроби надо обозначить за новую переменную. Полученный интеграл представляется в виде суммы двух интегралов. Первый интеграл приводится к табличному новой подстановкой, либо находится с помощью подведения под дифференциал, а второй интеграл будет табличным.

Пример. Найти интеграл .

Решение

Выделяем полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби:

(х – 2)² + 2² .

Вводим замену: t = x – 2, dt = dx, x=t+2, получаем

= = = .

Делим почленно числитель подынтегральной дроби на знаменатель, представляем в виде суммы двух интегралов:

= + = +5 = + = + .

1.8. Интегралы вида и .

Заметим, что эти интегралы вида находят с помощью преобразований, аналогичных для соответствующих интегралов из п. 1.7. Отличие заключается в использовании формул таблицы основных интегралов на заключительном этапе решения.

Интеграл вида выделением полного квадрата в подкоренном выражении знаменателя, приводится к табличному интегралу (12), если а>0, и к табличному интегралу (11), если а < 0.

Пример. Найти интеграл .

Решение

.

Интеграл вида сводится к двум табличным после выделения полного квадрата в подкоренном выражении знаменателя подынтегральной дроби и последующей замены линейного выражения в знаменателе одного из слагаемых.

Пример. Найти интеграл .

Решение

Так как 8+4х−4х²=9−(1−2х)², то положим 1−2х=t.

Тогда , , следовательно,

1.9 Интегрирование элементарных дробей.

К элементарным дробям относятся правильные рациональные дроби следующих типов:

(I); (II ); (III); (IV).

При этом m, n − натуральные числа, а квадратный трехчлен ax²+bx+c не имеет действительных корней.

Первые два типа дробей интегрируются непосредственно.

1) = А = А = А ln(С – a) + C.

2) =A d (С – a) = A +C = +C.

3) Интегрирование дробей третьего типа рассмотрено в п.1.7.

4) Элементарные дроби четвертого типа интегрируются с помощью рекуррентной формулы, которая имеет вид:

+ . (1.9.1)

Пример. Найти интеграл

Решение.

= = +2 = = +2 = +2 ,

где t = х – 2.

Полагая в рекуррентной формуле (1.9.1) n = 2, находим интеграл .

= + = + arctg t + C.

Следовательно, = + +arctgt + C= + arctg (х – 2) + C.

1.10. Разложение рациональной дроби на элементарные.

Пусть Q (х) есть многочлен с действительными коэффициентами степени n, то есть

Q_n (х)=С_nхⁿ+С х^n-1+…+С₃х³+С₂х²+ С₁х+ С₀ (1.10.1)

Любой многочлен вида (1.10.1) можно разложить единственным образом на линейные и квадратичные множители вида (х – а) и (х² + px + q), где а – действительный корень многочлена, а квадратный трехчлен х² + px + q не имеет действительных корней.

Следует заметить, что некоторые из множителей, на которые раскладывается данный многочлен, могут входить в его разложение несколько раз.

В общем виде разложение многочлена (1.10.1) можно записать в виде:

Q_n(х)=С_n(х–а)^k(х–b)^m… +(х²+px +q)^r (х²+p С +q )^s… (1.10.2)

где а – действительный корень многочлена (1.10.1) кратности к, b − действительный корень многочлена (1.10.1) кратности m, …, а натуральные числа r, s, … выражают кратность каждой пары сопряженных комплексных корней многочлена (1.10.1). При этом справедливо равенство: k+m+ …+ 2r + 2s + …= n.

Напомним, что рациональной дробью называется частное двух многочленов одного и того же аргумента. Рациональная дробь вида называется правильной, если степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q(х).

Сформулируем теорему о разложении рациональной дроби на сумму элементарных дробей.

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь , знаменатель которой имеет разложение (1.10.2), может быть представлена единственным образом в виде суммы конечного числа элементарных дробей следующим образом:

= + +…+ + + +…+ +…+

+ +…+ +…+ +

+ + …+ +… (1.10.3)

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

1) ;

2)

3)

Для нахождения неопределенных коэффициентов

А₁, А₂,…А_k, В₁, В₂, В_m, М₁, М₂,…М_r, N₁, N₂,…N_r, … поступают следующим образом: 1) приводят элементарные дроби правой части (1.10.3) к общему знаменателю, который, очевидно, будет равен Q(х);

2) приравнивают многочлен, получившийся в числителе, многочлену Р(х). В результате получают тождество;

3) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части этого тождества, получают систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решив полученную систему, можно найти значения неопределенных коэффициентов.

Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить дробь на элементарные дроби.

Решение

Данная дробь является правильной. Применяя формулу разложения (1.10.3), будем иметь:

Приводим элементарные дроби к общему знаменателю:

Освободившись от знаменателя, получаем тождество:

Далее, раскрыв скобки в правой части полученного равенства и расположив полученный многочлен по убывающим степеням аргумента х, получаем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента х в правой и левой частях полученного тождества, поучаем систему линейных уравнений относительно неизвестных А, В и С:

Решение системы дает: А=2; В=5; С= −1.

Следовательно, .