14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.

– вектор-ф-ція 2-х скалярних аргументів.

– криволінійні коорд. т. на поверхні

координатна лінія ; координатна лінія ;

– р-ня лінії на поверхні

Нех. маємо поверхню, яка задана і нех. на цій поверхні задано лінію

;

Знайдемо довжину

– перша квадратична форма поверхні.

З геом. точки зору 1-а квадратична форма поверхні = квадрату диференціалу дуги лінії.

E,F,G – коеф. 1-ої квадратичної форми.

Отже довжину дуги можна обчислювати за формулою

.

15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.

Дотична до лінії дає змогу локально наближати цю лінію прямою звідси і значення цього поняття в геометрії.

О зн. Нех. маємо криву, на ній якась т. М₀ і деяка т. М, яку наз. змінною. Прип., що М→ по лінії, якщо при цьому граничне положення січних M , то воно наз. дотичною в т. .

Дотична до лінії задана в параметричному вигляді

або в т.

Для цього візьмемо т. М(t). Січна M х-ться .

– напрямний вектор дотичної.

Позначимо його через

наз. похідною вектора-ф-ції r(t) до одного скалярного аргументу. Отже, дотична до лінії r=r(t) в т. t= має напрямний вектор

t=

Оск. маємо напрямний вектор дотичної

То можемо знайти її рівняння:

Озн.( нормальної пл-ни до лінії )

Пл-на, яка до дотичної в даній т. кривої наз. нормальною пл-ною до цієї кривої в цій т.

Нормальна пл-на

р-ня нормальної пл-ни

16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.

Принцип двоїстості

Позначимо – мн. всіх прямих пл-ни . Розгл. відображення

1.f – ін’єктивне: (різним-різні)

2. f – сюр’єктивне:

1,2 f – бієктивне – бієктивне.

При зберігається взаємна належність точок і прямих.

Отже, образом точок прямої при відображенні пучок пря-мих, а при відобр. – образом пучка прямих є пряма точок.

Принцип двоїстості на пл-ні

Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі, та відношення належності між ними, то буде справедливим і твердження, яке отримується такою заміною слів:

Принцип двоїстості у просторі

Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі, пл-ни та відношення між ними, то буде справедливим і твердження, яке отримується такою заміною слів:

О зн. Трьохвершинником наз. фігура, яка склад. з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох прямих, які з’єднують попарно ці точки.

Т. (Дезарга).Нех. задано два трьохвершинники, відповідні елементи яких не співпадають, тоді:

1.Якщо прямі, які з’єднують відповідні вершини 2-х трьохвер-шинників, проходять через одну точку, то відповідні сторони цих трьохвершинників перетин. в т., які лежать на одній прямій.

2. Якщо точки перетину відповідних сторін двох трьохвершин-ників лежать на одній прямій, то прямі, які проходять через відпо-відні вершини цих трьохвершинників, проходять через одну точку.