1. Анализ устойчивости равновесия.
Потенциальная
энергия системы при стационарных связях
(S=0)
Где λ=yА=ltgφ – деформация пружины.
Обобщенная потенциальная сила
при φ=0 равняется нулю, следовательно, положение системы, соответствующее вертикальному расположению кулисы, является положением равновесия.
Находим вторую производную потенциальной энергии системы
В положении равновесия
Критическое значение коэффициента к жесткости пружины находим, приравнивая величину (д2П/дφ2)φ=0 нулю, т.е. из условия
κкрl-2m1g=0.
При
и следовательно, в соответствии с теоремой Лагранжа-Дирихле равновесие системы при φ=0 устойчиво.
Вывод дифференциального уравнения движения системы. Для вывода дифференциального уравнения движения системы применим уравнения Лагранжа 11 рода в форме Кинетическая энергия системы
где
Тогда
При малых отклонениях системы от положения равновесия кинетическую энергию системы принимают в виде
где инерционный коэффициент
Диссипативная функция Ф системы учитывает мощность всех демпферов (источников сил неупругого сопротивления):
Из полученного выражения находим приведенный (обобщенный) коэффициент сопротивления b = 4 μ l 2.
Потенциальная энергия системы с учетом движения штока S
При малых отклонениях в выражении П (φ) удерживают члены до второго порядка малости относительно φ. Поэтому примем
Тогда
Коэффициент в выражении потенциальной энергии, стоящей перед φ2/2, есть приведенный (обобщенный) коэффициент жесткости С системы
Обобщенная сила, соответствующая заданной возмущающей силе F(t) и моменту M(t),
Тогда
Применяя уравнение Лагранжа, получим
-
обобщенная сила от силового и
кинематического возбуждения в системе;
-
амплитуда обобщенной возмущающей силы.
3. Определение собственных характеристик и свободных колебаний системы.
Свободные (Q(t)=0) колебания системы описываются дифференциальным уравнением
где
,
квадрат собственной частоты гармонических
колебаний системы,
-
коэффициент затухания колебаний.
При
,
т.е. в случае «малого» сопротивления,
уравнение движения системы имеет вид
,
где
-
частота затухающих колебаний: C1,C2,
A,
α – константы, определяемые по начальным
условиям движения.
Вычислим собственные характеристики системы.
Инерционный коэффициент
.
Потенциальный коэффициент
.
Собственная частота гармонических колебаний системы
.
Критическое значение коэффициента сопротивления демпфера находим из условия
,
где
.
Коэффициент сопротивления демпфера
Коэффициент затухания свободных колебаний определим из пропорции
,
т.е. n = 0.2 ωo = 1.4 c-1,,
Круговая частота затухающих колебаний
.
Период затухающих колебаний
.
Логарифмический декремент колебаний
Декремент колебаний
Найдем свободные колебания системы, возбуждаемые ударным импульсом Iуд = 1,47 H·c, действующим на груз B при φ= 0 в горизонтальном направлении влево.
По теореме об изменении кинетического момента системы при ударе
где
-
кинетический момент после удара.
Тогда при t=0 имеем
Определяем постоянные интегрирования:
Тогда
Время
практически полного затухания свободных
колебаний системы составляет
За
это время система совершает
колебания.
4. Определение приближенного значения собственной частоты гармонических колебаний системы методом Рэлея
Запишем кинетическую энергию системы с учетом распределения по длине h массы mпр пружины
Т=ТТ·Т+ТПР,
где
-
кинетическая энергия твердых тел
системы,
-
кинетическая энергия пружины,
u (ξ, t) –смещение от положения равновесия сечения пружины с координатой ξ (координата ξ отсчитывается от правого конца пружины).
Примем линейный закон распределения отклонений
Тогда
При гармонических колебаниях системы
откуда
находим
Учитывая, что mпр = 0,6 кг, получим
