Вопрос 14.7.2.2

Покажите, как 421 фильтр (рис 14.14) может быть разложен на операцию сглаживания (размытия)каждой строки в изображении с одномерным фильтром со значениями (1/4, 2/4, 1/4) и затем фильтрировать каждый столбец результирующего изображения с тем же одномерным фильтром.

Расширьте эту концепцию на производство трехмерного эквивалента двухмерного 421 фильтра. Какие показания значений будут для этого фильтра?

Может ли однородный фильтр (рис.14.13) быть синтезирован аналогичным способом?

Ответ:

Фильтры

1/4

2/4

1/4

и

1/4

2/4

1/4

когда сворачиваются (свертываются), создают 421 фильтр. Значения для 3D эквивалента фильтра приведены ниже:

1/64	2/64	1/64
2/64	4/64	2/64
1/64	2/64	1/64

2/64	4/64	2/64
4/64	8/64	4/64
2/64	4/64	2/64

1/64	2/64	1/64
2/64	4/64	2/64
1/64	2/64	1/64

Однородный фильтр может быть синтезирован аналогичным способом.

Вопрос 14.7.2.3.

В теории вероятности следствие из теоремы о центральном пределе говорит о том, что если функция распределения повторно сходится сама в себя, то результирующая функция будет становиться все ближе и ближе к нормальному (гауссовскому) распределению. Если дисперсия функции распределения равна σ2, дисперсия функции, полученная путем схождения N копий функции, будет считаться Nσ2. Этот результат применим для повторяющегося размытия на фильтре. Рассчитайте дисперсию 421 фильтра, считая что размер пикселя p мм, и отсюда рассчитайте полуширину эквивалента фильтра, полученного с помощью N размытий (сглаживаний), на 421 фильтре.

Сколько размытий на 421 фильтре требуется, чтобы синтезировать гауссовский фильтр на полуширине в 20 мм, если размер пикселя будет 2 мм?

Повторите эти вычисления для 3D случая. Считая, что используются кубические 3D элементы.

Ответ

Дисперсия 421 фильтра является p2. Дисперсия определяется для центросимметричной функции

и в отдельном случае мы замещаем интеграл суммами.

Полуширина для N размытий на фильтре считается по формуле

и поэтому для полуширины в 20 мм и при размере пикселя в 2мм кол-во N является 18.

Для 3D дисперсия равна 1.5p2 и поэтому число размытий в этом случае равно 12.