Основные формулы для математического ожидания
Если
— функция
распределения случайной
величины, то её математическое ожидание
задаётся интегралом
Лебега — Стилтьеса:
.
Простейшие свойства математического ожидания
Математическое ожидание числа есть само число.
—
константа;
Математическое ожидание линейно, то есть
,
где 
—
случайные величины с конечным
математическим ожиданием, а 
—
произвольные константы;
Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если
почти
наверное,
и 
—
случайная величина с конечным
математическим ожиданием, то математическое
ожидание случайной величины 
также
конечно, и более того
;
Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если
почти
наверное,
то
.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.
Диспе́рсия
случа́йной величины́ —
мера разброса данной случайной
величины,
то есть её отклонения от математического
ожидания.
Обозначается 
в
русской литературе и 
(англ. variance)
в зарубежной. В статистике часто
употребляется обозначение 
или 
.
Квадратный корень из дисперсии, равный 
,
называется среднеквадрати́чным
отклоне́нием, станда́ртным
отклоне́нием или
стандартным разбросом. Стандартное
отклонение измеряется в тех же единицах,
что и сама случайная величина, а дисперсия
измеряется в квадратах этой единицы
измерения.
Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда
где
символ 
обозначает математическое
ожидание
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:
Верно
и обратное: если 
то 
почти
всюду;Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
,
где 
—
их ковариация;
Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
,
где 
;
В частности,
для
любых независимых или некоррелированных случайных
величин, так как их ковариации равны
нулю;
9 Ззакон распределения ошибок.
Ошибок теория, раздел математической статистики, посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.
О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.
Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x1, x2,..., xn. Разности
d1 = x1 - a,?, dn = xn - a
называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все di трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d1,..., dn. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Ed1=...= Еdnназывается систематической ошибкой, а разности d1 - b,..., dn - b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0, и в этой ситуации d1,..., dn суть случайные ошибки. Величину , где а - квадратичное отклонение, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением? . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений, а разности D1 = x1 - ,..., Dn = xn - ??называются кажущимися ошибками. Выбор ?в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка ?с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон); оценка ?лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть
D = E( - а)2 = s2/n.
Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки di подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина ?имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией s2/n. Если распределения di в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы, не меньше D . Если же распределение di отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.
Если дисперсия s2 отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной
(Es2 = s2, т. е. s2 - несмещенная оценка для s2), если случайные ошибки di имеют нормальное распределение, то отношение
подчиняется Стьюдента распределению с n - 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а " ?(см. Наименьших квадратов метод).
Величина (n - 1) s2/s2 при тех же предположениях имеет распределение c2 (см. "Хи-квадрат" распределение) с n - 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s " s. Можно показать, что относительная погрешность |s - s|Is не будет превышать числа q с вероятностью
w = F (z2, n - 1) - F (z1, n - 1),
где F (z, n - 1) - функция распределения c2,