3. Теорема Коші

Теорема. Нехай: 1) функції  і   задані і неперервні на відрізку ; 2) диференційовані в інтервалі ; 3) похідна  всередині інтервалу  не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу  знайдеться така точка , що має місце рівність

 

№33.Обчислення границь за правилом Лопіталя

Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому

Вважатимемо, що х0 – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка , для якої або тому, що . Оскільки за умовою існує , якщо , то з рівності маємо:

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо

Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду .

Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі Тоді якщо існує границя то існує границя і Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя. Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

а). Якщо то невизначеність виду 0· можна звести до основних так: або

б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :

в). Якщо , то і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0· , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.

№34.Формула Тейлора и Маклорена .

Формула Тейлора

f(x)= P(x) -

Формула Маклорена

№35. Область визначення ф-ції. Неперервність. Точки розриву

Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Якщо задані: числова множина та правило , що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу з множини певне число, то говорять, що задана функція з областю визначення .

Тобто, визначення області значень є необхідною умовою визначення функції.

Визначення. Значення змінних, на яких задається функція , називають допустимими значеннями змінних.

Визначення. Значення змінних, при яких алгебраїчний вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних. Множину всіх допустимих значень змінних називають областю допустимих значень змінних .

Визначення. Областю визначення рівняння називають множину всіх тих значень зміної x, при яких алгебраїчні вирази і одночасно мають зміст.

Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст.

Функція f(x) дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам Δx аргумента x відповідають малі зміни Δf значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Функція f(x) дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного ε > 0 знайдеться таке δ > 0 (яке залежить від ε), що з випливає | f(x) − f(x₀) | < ε. Функція f(x) неперервна в області , якщо f(x) неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай , x₀ — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x₀

Функція f називається неперервною в точці x₀ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.

2. існує границя

3. .

Означення неперервності в точці x₀ за Коші

Функція f називається неперервною в точці x₀ якщо: , що =>

Означення неперервності в точці x₀ за Гейне

Функція f називається неперервною в точці x₀ якщо: , якщо , то .

Точки розриву

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.