6. Прямое (декартово) произведение. Примеры. Число элементов в декартовом произведении п множеств.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество всех пар (а, в) таких, что а∈ А и в∉ В.

Обозначение: А х В.

Если А = В, то А х В =А2 и называется декартовым квадратом.

Примеры:

1. R – множество действительных чисел, тогда RхR = R2 – векторы (а, в), где а∈R и в∈R, есть координаты точек плоскости.

Такое координатное представление точек плоскости было предложено Декартом и являлось первым в истории примером прямого произведения множеств.

2. Прямое произведение {1, 2, 3, …, 8} х {a, b, c, d, …, h}- есть множество клеток шахматной доски.

3.Рассмотрим множество А, элементы которого символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций…), тогда Аn – это слова длиной n (под словом можно понимать текст).

Определение. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В (обозначение AxB) называется множество всех упорядоченных пар (a;b), таких, что a∈A, b∈B. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А2. Аналогично, прямым произведением множеств A1, A2, ... An называется множество всех векторов (a1, a2, ... an) длины п, таких, что a1∈A1, a2∈A2 ... an∈An.

Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

7. Бинарное отношение на множестве. Примеры

Бинарным отношением на множестве А назавем некоторое подмножество декартного квадрата G<= A²

A²=A*A={(a,b)|a,b€A}; (a,b)€G

Примеры: A=N; A²={(a,b)|a,b€A}

(1,2); (3,4); (10,2)

a)меньше или равно: 3<=4 (3,4)€G; 10не<=2 (10,2)не принадлежит G

б)меньше: 3<4 (3,4)€G; 1<2 (1,2)€G; 10не<2 (10,2) не принадлежит G

в)равно: 3не=4 (3,4)не принадлежитG и (1,2) и (10,2) тоже

г)быть кратным: (10,5)€G; (10,3)не принадлежит G

8.Свойства бинарных отношений: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Примеры

Бинарное отношение G на множестве A называется рефлексивным, если (Ya€A) (a,a)€G

Бинарное отношение G на множестве A называется антирефлексивным, если Ya€A (a,a) не€G.

Бинарное отношение G на множестве A называется симметричным, если из условия (a,b)€G следует включение (b,a)€G.

Бинарное отношение G на множестве A называется антисимметричным, если либо не существует элементов a и b таких, что (a,b)€G и (b,a)€G, либо a=b. (Если пользоваться

смыслом операции импликации из математической логики, то

первое условие можно опустить.)

Бинарное отношение G на множестве A называется

транзитивным, если из условий (a,b)€G и (b,c)€G следует, что(a,c)€G .

9.Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Примеры.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение G на множестве A называется

отношением эквивалентности. Мы будем использовать стандартное обозначение a~b.

Если на множестве A задано отношение эквивалентности, то A=UiAi, где Ai∩Aj=Ø при i≠j и a~b тогда и только тогда, когда они входят в одно множество al. Эти множества называются классами эквивалентности.

1.a~a, Ya€A; 2. a~b=> b~a Ya,b€A; 3. a~b, b~c=> a~c Ya,b,c€A