22) Teopeмa сложения скоростей.

П усть система отсчета O₁x₁y₁z₁ - неподвижная, а система отсчета Oxyz - подвижная. Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета O₁x₁y₁z₁ называется абсолютным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Переносным движением точки называется движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Относительные скорость и ускорение обозначают и , переносные - и , а абсолютные - и .

Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения , например вместе с точкой О, и вектором угловой скорости ее вращения вокруг О.

Теорема. Скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Доказательство. Рассмотрим движение точки . Положение точки относительно неподвижной системы отсчета определяется вектором , а относительно подвижной вектором . Положение точки относительно неподвижной системы отсчета определяется вектором . Для любого момента времени выполняется тождество .

Продифференцируем его по времени (вычислим производные в неподвижной системе отсчета) и получим

(9-5)

По определению, - абсолютная скорость точки , - абсолютная скорость точки . Для вычисления применим формулу Бура. Имеем . Относительная производная - является относительной скоростью точки по отношению к неподвижной системе отсчета, а - угловая скорость вращения подвижной системы отсчета.

Таким образом из (9-5) получаем

Скорость

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка в движении тела относительно неподвижной системы отсчета. Это есть переносная скорость точки .

Окончательно получаем

,

что и требовалось доказать.

23) Сложение ускорений в общем случае переносного движения

Теорема. (кинематическая теорема Колиолиса) Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений - переносного, относительного и Кориолиса.

Доказательство. Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости.

Для производных от векторов и применим формулу Бура. Получим

Учитывая, что , , , ,

получим для абсолютного ускорения

В этой формуле первые три слагаемых являются переносным ускорением для точки . Последнее слагаемое называется ускорением Кориолиса (иногда его называют добавочным или поворотным ускорением) и обозначается .

В итоге формула (9-8) принимает вид

,

что и требовалось доказать.

24-25) Сложение вращений тела вокруг двух осей

На рис. 54 изображено тело, которое со­вершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, не­подвижной оси. Естественно, первое вращение следует на­звать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозна­чить  и  .

Рис.54

 

Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет  больший  размер,  то его точка, совпа­дающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и от­носительного вращения изображается  векто­рами   и  , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответст­вующим осям.

Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором   (рис.54).

Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной:  . Но  относительное  движение точки (ис­пользуя  правило остановки), есть вращение с угловой скоро­стью     вокруг  оси   , определяется радиусом-вектором  . Поэтому,  .

Рис.11.1.

Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя  правило  остановки, тоже  есть вращение, но вокруг оси    с угловой скоростью   и будет определяться тем же радиусом-вектором  . Поэтому и переносная скорость  .

Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом  движении,  определяется  аналогично  ,  где   - абсолютная  угловая  скорость,  направленная по мгновенной оси вращения Р.

По  формуле  сложения  скоростей  получим:   или  .

Отсюда               

То есть мгновенная  угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору  , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах   и   (рис.54).

Частные случаи:

1. Оси вращения   и   параллельны, на­правления  вращений одинаковы (рис. 55).

Рис.55

 

Так как векторы   и   параллельны и направлены  в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей   и вектор ее направлен  в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит рас­стояние между осями на части обратно  пропорциональные   и  :

.  (Аналогично  равнодействующей параллельных сил).

В  этом частном слу­чае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей   находится на оси Р.

2. Оси  вращения  параллельны,  направления  вращений  противоположны (рис.56).

Рис.56

 

В  этом  случае   (при   ).  Мгновенная  ось  вращения   и  мгновенный  центр  скоростей  находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что   (опять по аналогии   определения равнодействующей  параллельных сил).

3. Оси  вращения  параллельны,  направления  вращений  противоположны и угловые скорости равны.

Угловая скорость абсолютного движения   и, следовательно, тело  совершает  поступательное  движение.  Этот  случай  называется  парой вращений, по аналогии с парой сил.

26) Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение.

Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью  и поступательного со скоростью  , направленной параллельно оси Аа (рис.63), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы   и   направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения   винт будет правым; если в разные стороны, - левым. 

Р асстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величи­ны   и   постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обо­значая время одного оборота через Т, получаем в этом случае   и  , откуда  .

 При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящей­ся от оси винта на расстоянии  , слагается из поступательной ско­рости   и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­тельном движении, которая численно равна  . Следовательно,

.

Направлена скорость   по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии, обратятся впрямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом  .