Метод хорд

Нехай маємо фунцію .і на має єдиний корінь

І нехай функція є неперервною на цьому проміжку, а також для неї існують неперервні похідні 1-го та 2-го порядку, які на цьому проміжку не змінюють знак і не перетворюються в нуль. Виберемо деяке початкове наближення і замінимо функцію хордою, яка проходить через точки і за наступне наближення значення кореня приймемо точку перетину хорд з віссю ОХ. Позначимо цю точку через

)

-хорда буде перетинати вісь ОХ. Тоді можемо записати

ітераційний метод Хорд

Побудова буде виконуватись до тих пір поки

Коли ітераційний процес можна записати у вигляді

Деколи метод хорд називають методом лінійної інтерполяції

Геометрична інтерпретація

Метод Ньютона

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на . Виберемо початкове наближення або щоб виконувалась умова .

Метод Ньютона полягає у наближенні кривої дотичною проведеною до кривої в точці . І за наступне наближення значення кореня приймемо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох

– ітераційний метод Ньютона, або метод Дотичнихітераційний метод буде виконуватись до тих пір, поки

Для того щоб значення у (3) не перетворювалося в нуль використовуємо модифікований метод Ньютона

Недоліком є те що початкове наближення треба вибирати досить близько до розв’язку.

У методі Ньютона можливе зациклення. В такому випадку вибираємо середню точку між точками зациклення.

Комбіновий метод хорд і дотичних

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на . Для визначеності покладемо . Будемо будувати наближення як зліва так і справа шукаючи розв’язок.

Для методу хорд

Для методу ньютона

Ми побудували проміжок на якому є один корінь

Тоді на k-товім кроці ми будемо шукати

Знаходимо проміжок

Проробляєм до тих пір поки

За наближення розвязку беремо середину проміжку, тобто

Метод січних

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на .

Метод січнх може бути одержаний з методу Ньютона замінивши її різницевим еквівалентом:

При чому - це деякі задані початкові наближення

Цей метод є двокроковим методом так як він на кожному кроці використовує два попередні наближення.

Геометрична інтерпретація

Метод січних використовується у випадку коли вираз похідної є громістким або його неможливо знайти. Метод Ньютона є швидшим ніж мето д січних, який є різницевим аналогом методу Ньютона.

Приклад

	Ньютона	Січних
0	1	1
1	2,5	2,5
2	2,05	1,875
3	2,0006	1,9836
4	2,0000001	2,006