Задача 3

Привести структурные схемы аналого-цифрового (АЦП) и цифро-аналогового (ЦАП) преобразователей, дать описание процессов в схемах, изобразить временные диаграммы сигналов, поясняющих работу АЦП и ЦАП для произвольной формы непрерывного сигнала. В табл. 3 заданы исходные числовые данные: максимальная частота спектра F_max, коэффициент амплитуды К_А первичного сигнала и отношение сигнал/шум квантования _кв. Рассчитать интервал и частоту дискретизации, число уровней квантования, длину кода АЦП, длительность двоичного символа и скорость цифрового сигнала.

Таблица 3 – Числовые данные к задаче 3

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Fmax, кГц	12	22	16	2,8	3,4	5,5	6	8,2	18	10
КА	4,5	3,5	5,5	7	8	5	3	4	8	6
кВ, дБ	39	42	38	42	34	45	49	40	34	43

Указания. См. [1, с. 23, 64...69, 242..248; 2, с.34...39, 262...269].

Интервал дискретизации Т_д и частота дискретизации f_д являются взаимно обратными величинами: Т_д = 1/f_д и определяются на основе теоремы Котельникова: f_д  2F_max.

Число уровней квантования L определяют из условия, чтобы удовлетворить заданное отношение сигнал/шум квантования _кв. Для этого необходимо воспользоваться формулами (8.11) [1] или (17.15) [2]. В [1] коэффициент амплитуды обозначен как П. При проведении расчетов заданное отношение сигнал/шум квантования необходимо представить в разах:

 = 10^0,1[дБ].

Длина кода АЦП n определяется как наименьшее целое, удовлетворяющее условию n  log₂ L. Длительность двоичного символа на выходе АЦП Т_б = Т_д/n. Скорость цифрового сигнала R = 1/Т_б.

Задача 4

Белый гауссовский (нормальный) шум N(t) с односторонней спектральной плотностью мощности N₀ подается на вход фильтра нижних частот (ФНЧ) с заданной АЧХ H(f), 0 f < .

Необходимо:

1. Найти выражение для спектральной плотности мощности шума X(t) на выходе ФНЧ G_X(f) и построить график этой функции.

2. Определить среднюю мощность шума X(t).

3. Определить эффективную ширину спектра f_эф шума X(t) и показать ее на графике функции G_X(f).

4. Найти выражение для корреляционной функции шума X(t) на выходе ФНЧ K_X() и построить график этой функции.

5. Определить интервал корреляции _к шума X(t) и показать его на графике функции K_X().

6. Вычислить произведение f_эф_к.

7. Определить вероятность того, что шум X(t) в произвольный момент времени примет значение в заданном интервале (x₁, x₂).

Номер варианта определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки. Заданы следующие типы ФНЧ:

- для вариантов 00...29 идеальный ФНЧ с АЧХ H(f ) =

где F_ср – частота среза ФНЧ;

- для вариантов 30...69 RC-фильтр с АЧХ H(f ) = ,

где _ф – постоянная времени ФНЧ;

- для вариантов 70...99 гауссовский фильтр с АЧХ H(f ) = exp( -a²f²),

де а – коэффициент, определяющий скорость спада АЧХ ФНЧ.

Числовые значения к задаче 4 приведенные в табл. 4.

Таблица 4 – Числовые значения к задаче 4

Последняя цифра номера зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
N0, 10-6 В2/Гц	0,1	5	2	1	40	10	200	100	5000	1000
Fср, 105 Гц	100	4	20	40	1	6	0,3	0,8	0,02	0,1
ф, 10-6 с	0,04	0,6	0,2	0,06	2	0,4	7	3	100	20
а, 10-7 с	0,5	15	3	1,5	60	10	200	75	3000	600
х1, В	– 	– 0,5	0	0	1	2	– 	2	4	0
х2, В	1	0,5		3	3		0	4		4

Указания. См. [1, с. 27...45; 2, с. 40...49]. Рекомендуется следующая последовательность выполнения задачи 4.

1. Спектральная плотность мощности шума X(t) на выходе ФНЧ определяется соотношением

G_X(f ) = G_N(f )H²(f ) = N₀H²(f ),

график функции G_X(f ) необходимо строить для диапазона значений частоты от 0 до значения, вне которого G_X(f ) << G_X(0).

2. Средняя мощность шума X(t) определяется интегралом

.

3. Эффективная ширина спектра f_эф шума X(t) определяется

или f_эф = ,

значение f_эф необходимо показать на графике функции G_X(f ).

4. Корреляционная функция шума X(t) определяется

,

график функции K_X() необходимо построить для диапазона значений  от 0 до значения, вне которого K_X()<< K_X(0). Полезно проверить выполнение основных свойств корреляционных функций:

• K_X() – четная функция;

• K_X(0) = P_X;

• K_X(0)  K_X().

5. Интервал корреляции _к шума X(t) можно определить одним из следующих методов:

• как значение , при котором функция K_X() первый раз принимает значение нуль (это удобно в случае идеального ФНЧ);

• как значение , при котором функция K_X() = 0,1K_X(0);

• с помощью вычисления интеграла

;

значение _к необходимо показать на графике функции K_X();

6. Вычислить произведение f_эф_к, которое должно иметь значение порядка 0,5.

7. Для определения вероятности того, что шум X(t) в произвольный момент времени примет значение в заданном интервале (x₁, x₂), необходимо воспользоваться соотношением P{x₁ < X(t)  x₂} = F(x₂) – F(x₁), где F(x) – функция распределения вероятностей шума X(t). Если на входе линейной электрической цепи действует гауссовский процесс, то выходной процесс также имеет гауссовское распределение вероятностей. Для гауссовских процессов функция распределения вероятностей записывается :

где – одна из форм интеграла вероятностей;

– среднее значение шума X(t) (в нашей задаче = 0);

_X – среднее квадратичное отклонение шума X(t), оно определяется

_X = ;

D[X(t)] – дисперсия шума X(t), поскольку = 0, то D[X(t)] = P_X .

При отсутствии таблиц интеграла вероятностей значения интеграла могут быть определены по приближенной формуле:

Q(z)  0,65 exp[–0,44(z + 0,75)²] при z > 0;

Q(z) = 1 – Q( z) при z < 0, Q(0) = 0,5, Q() = 0.

При определении P_X , K_X() и _к можно использовать следующие соотношения:

; ;	при a > 0 ; .