5.2. Нахождение размера сечения балки.

Балка в поперечном сечении представляет собой сдвоенный швеллер. Момент сопротивления, приходящийся на один швеллер, определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

; ,

откуда

,

где – допускаемое нормальное напряжение, МПа ([1], с.45);

– максимальный изгибающий момент (из эпюры: кН∙м).

м³ см³.

По таблице сортаментов ([3], с.344, табл. 2) определим номер швеллера, имеющего см³. Данному условию соответствует швеллер № 24а ( см³).

Проверим перенапряжение балки: .

Па МПа.

Перенапряжение равно 0 % < 5 %, следовательно, допустимо.

5.3. Проверка сечения по касательным напряжениям.

Проверим сечение выбранного профиля по касательным напряжениям. Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

; ,

где – допускаемое касательное напряжение, МПа;

– максимальная поперечная сила (из эпюры: кН);

– статический момент части сечения, заключенной между нейтральным уровнем и краем сечения;

s – ширина профиля на нейтральном уровне;

– момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

По сортаменту для швеллера № 24а ([3], с.344, табл. 2):

см³; мм; см⁴.

Для сдвоенного швеллера:

см³; мм; см⁴.

Па МПа;

9,6 МПа < 96 МПа, следовательно, условие прочности выполняется.

5.4. Построение эпюр напряжений.

Эпюры нормальных и касательных напряжений при для рассматриваемой балки построены на рис.5.6.

Рис. 5.6.

Знаки на эпюре нормальных напряжений поставлены в соответствии с изгибом балки при M < 0 (верхние слои растягиваются, нижние сжимаются).

Для нахождения значения изгибающего момента в сечении К необходимо в уравнение M на II участке подставить м:

кН∙м.

Максимальное нормальное напряжение в сечении К:

Па МПа.

Знак на эпюре касательных напряжений зависит от знака поперечной силы в сечении K.

Для нахождения значения поперечной силы в сечении К необходимо в уравнение Q на II участке подставить м:

кН.

Максимальное касательное напряжение в сечении К:

МПа.

Касательное напряжение на уровне полки:

,

где h – высота швеллера (по сортаменту мм);

t – высота полки (по сортаменту мм);

b – ширина швеллера (по сортаменту мм).

Па МПа.

5.5. Определение прогиба.

Чтобы определить прогиб балки в заданном сечении (точка C), воспользуемся универсальным уравнением прогибов:

,

где EI – жесткость при изгибе;

a_i, b_i, c_i – расстояния от начала координат до места приложения моментов, сосредоточенных сил, начала распределенной нагрузки соответственно.

Начало координат установим в точке A. Так как распределенная нагрузка не доходит до конца балки, продлим ее, приложив компенсирующую нагрузку.

Рис. 5.7.

Универсальное уравнение прогибов для данной балки:

1

2

,

где МПа – модуль Юнга для стали ([1], с.46);

см⁴ – собственный момент инерции сечения балки.

Так как начало координат расположено в шарнирной опоре, то прогиб в этой точке равен нулю:

.

Чтобы определить неизвестный начальный угол поворота , напишем уравнение прогиба в точке D:

.

Прогиб в точке D равен нулю, так как в этой точке располагается шарнирная опора:

;

Па∙м⁴.

Па∙м⁵.

Прогиб балки в точке С:

м см.

Балка прогнулась вниз на 8,2 см.

Задача 6