13.2 Базовый подход к поиску общего решения дифференциального уравнения с помощью рядов
Пусть
необходимо найти решение у(х) задачи
Коши для дифференциального уравнения
2-го порядка:
Ищем
у(х) в виде ряда Тейлора:
(30.14)
Значения
известны,
поэтому определяется
сразу
Для
нахождения следующих коэффициен-
тов
ряда (30.14) необходимо брать последовательно
производные от 
и
подставлять в них известные уже значения
предыдущих производных.
Пример: Найти первые три члена разложения в с.р. решения задачи Коши
у(х)
ищем в виде
Имеем:
Таким образом,
Изложенный
метод применим для приближенного решения
уравнений любого порядка
13.5 Базовый подход к решению задачи Коши для дифференциального уравнения с помощью операционного исчисления
Алгоритм
решения задачи Коши для уравнений операционным
методом состоит в следующем. Обозначим Y(p)
и F(p)
изображения для y(x)
и f(x).
Тогда
по основным свойствам преобразования
Лапласа, переходя к изображениям,
получим:
или, A(p)Y(p)+B(p)
= F(p),
где A(p)
и B(p)
- многочлены.
Отсюда:
и
искомое решение задачи Коши y(x)
является оригиналом для Y(p).
13.6 Базовый подход к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления
Алгоритм
решения задачи Коши для систем операционным
методом состоит в следующем.
Обозначим 
изображения
для 
-
компонентами вектор-функций
являются
изображения соответствующих компонент
вектор-функций
.
Тогда по основным свойствам преобразования
Лапласа, переходя к изображениям,
получим:
,
где E - единичная
матрица, 
- обратная
матрица к
матрице 
.
Тогда
искомое решение задачи Коши 
является
оригиналом для 
.
14 Вопросы по теме «понятие статистики»
1 4.1 Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.
Вероятностное
пространство —
это тройка 
(иногда
обрамляемая угловыми
скобками: 
),
где
—
это
произвольное множество,
элементы которого называются элементарными
событиями,
исходами или точками;
— сигма-алгебра подмножеств
,
называемых (случайными) событиями;
—
вероятностная
мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная
конечная мера,
такая что 
.
[править]Замечания
Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате экспериментапроизошло случайное событие
,
если (элементарный) исход эксперимента
является элементом 
.
Требование,
что
является
сигма-алгеброй подмножеств
,
позволяет, в частности, говорить о
вероятности случайного события,
являющегося объединением счетного
числа случайных событий, а также о
вероятностидополнения любого
события.
14.2 Стати́стика — отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных.
Слово «статистика» происходит от латинского status — состояние дел[1]. В науку термин «статистика» ввел немецкий ученый Готфрид Ахенваль в 1746 году, предложив заменить название курса «Государствоведение», преподававшегося в университетах Германии, на «Статистику», положив тем самым начало развитию статистики как науки и учебной дисциплины. Несмотря на это, статистический учет вёлся намного раньше: проводилисьпереписи населения в Древнем Китае, осуществлялось сравнение военного потенциала государств, велся учетимущества граждан в Древнем Риме и т. п[2].
Статистика разрабатывает специальную методологию исследования и обработки материалов: массовые статистические наблюдения, метод группировок, средних величин, индексов, балансовый метод, метод графических изображений и другие методы анализа статистических данных.
14.3
Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю
P{X=α}=0 для любого α.
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятиеплотности распределения или плотности вероятности.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:
P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).
Плотность вероятности на этом участке определяется отношением
(5.6)
Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.
Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
(5.7)
В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).
Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
(5.8)
В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).
Основные свойства плотности распределения:
Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.
Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.
2.
Условие нормировки:
Это
свойство следует из формулы (5.8), если
положить в ней x=∞.
Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:
вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.