Задачи на геометрическое определение вероятности

Задача 1. В прямоугольник 5*4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.  Ответ: 0,353

Задача 2. Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Решение: Обозначим за х и у время прихода, 0 ≤ х, у ≤ 60 (минут). В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть y – x < 5, y > 0, x – y < 5, x > y.  Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным. 

Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть 

Ответ: 0,16

Задачи на формулу Бернулли

Задача 1. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число «успехов», неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз).

Получаем  Ответ: 0,0394.

Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:  а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах):

  Получаем а)   - вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти.  б)   - вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять). в)  - вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события –ни один элемент не откажет). Ответ: 0,0512; 0,00672; 0,67232.

Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы  Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем:

Получаем, что n = 15, 16 или 17.  Ответ: 15, 16, 17.

Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей

Задача 1. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение), А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),  А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),  по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.  Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3, или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,  или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.  Таким образом, 

Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем  Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие   (все отделения получат газеты вовремя). 

Вероятность этого события

  Тогда вероятность события У:  Ответ: 0,032; 0,316.

Задача 2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем независимые события:  А1 = (при аварии сработает первый сигнализатор);  А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);  по условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.  Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть   Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна  Ответ: 0,14.

Задача 3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть P - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие   = {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.  Вероятность события   равна  , тогда вероятность события Х равна  . По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем  уравнение  относительно 

Ответ: 0,8.