84.Векторний добуток векторів…

Векторним добутком вектора на вектор наз. вектор , який визначається 3 умовами:

1.Довжина вектора = , де ϕ- кут між векторами;

2.Вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3.Якщо ≠0, то вектори , і утворюють праву трійку векторів.

Алгебраїчні властивості векторного добутку:

1.Антикомутативність:

х = -( х )

2.Асоціативність відносно скалярного множника :

х = ( х )

3.Дистрибутивність відносно додавання векторів:

х( + )= х + х

Геометричні властивості:

4.Векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні;

5.Модуль векторного добутку неколінеарних векторів дорівнює площі пар-грама, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто S= .

6.Векторні добутки ортів задовольняють такі рівності:

х = х = х =0; х = _, х = , х = .

Вираження векторного добутку векторів через їх координати:

Нехай задано два вектори ={a_x ; a_y ; a_z} та ={b_x ; b_y ; b_z}.Покажемо, що векторний добуток вектора на вектор визначається за формулою (1) та виражається через іх координати:

х = (1).

х =(а_х +а_у +а_z ) ·(b_х +b_у +b_z ) = а_хb_x( х ) + а_хb_y( х )+ a_x b_z( х ) + a_y b_x ( х ) + а_yb_y( х )+

+a_yb_z( х ) + a_z b_x( х ) +a_z b_y( х ) + a_zb_z( х )=( a_yb_z – a_zb_y) – (a_xb_z – a_zb_x) + (а_хb_y - a_y b_x)=

= .

85. Мішаний добуток векторів.

Множення трьох векторів , , можна виконати різними способами . Зокрема , можна утворити такі добутки :

( ) , ( ) , ( )

Перший з цих добутків відповідає множенню скаляра на вектор

Результатом другого добутку є вектор , який наз. подвійним векторним або векторно-векторним добутком даних трьох векторів:

= ( )

Останній з наведених добутків ( ) - це скалярний добуток вектора на вектор його ще наз. мішаним добутком

Мішаним добутком трьох векторів , , наз. число , що дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів .

Знайдемо мішаний добуток векторів , , , заданих координатами :

={a_x ; a_y ; a_z}

={b_x ; b_y ; b_z}

={c_x ; c_y ; c_z}

Координати вектора визначаються за формулою(39):

= - +

Помноживши вектор скалярно на вектор , за формулою (33) дістанемо

( ) = I I

Властивості :

1).Якщо в мішаному добутку поміняти місцями , які-небудь два множники мішаний добуток поміняє знак на протилежний

( ) = - (

2).При циклічній перестановці множників мішаний добуток не зміниться.

( ) = ( ) = ( )

3).У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями

( ) = ( )

4).Модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда побудованого на векторах

, , віднесених до спільного початку V_{паралелепіпеда} =

5).Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність 0 їх мішаного добутку = 0

86.Загальне рівняння площини та його дослідження

Нехай в прямокутній системі координат Оxyz задано площину П точкою М₀ (x₀ ;y₀ ;z₀ ) і вектором = {A; B; C}, перпендикулярним до цієї площини. Візьмемо на площині точку М (x ; y ;z ) і знайдемо вектор = {x- x₀ ;y-y₀ ;z-z₀ }. При будь-якому положенні точки М на площині П вектори і взаємно перпендикулярні , тому їхній скалярний добуток дорівнює нулю, тобто

А(x- x₀) + В(y-y₀) + С(z-z₀) = 0 (28)

Або

Ах + Ву + Сz +D = 0, де D = -Ах₀ - Ву₀ - Сz₀ (29)

Рівняння (28) називається рівнянням площини , яка проходить через точку М₀ (x₀ ;y₀ ;z₀ ) перпендикулярно до вектора = {A; B; C}, а рівняння (29) – загальним рівнянням площини.

Вектор = {A; B; C} називається нормальним вектором площини. Кожна площина має безліч нормальних векторів. Усі вони паралельні між собою , а їх координати пропорційні. Отже , всяка площина в прямокутній системі координат визначається рівнянням першого степеня.

Дослідимо загальне рівняння площини.

A_x +B_y +C_z + D = 0

1)D = 0, A_x +B_y +C_z = 0, проходить через початок координат

2)A = 0 , B_y +C_z + D = 0, площина II O_x

3)B = 0, A_x + C_z + D = 0, площина II O_y

4)C = 0, A_x +B_y+ D = 0, площина II O_z

5)A=B=0, C_z + D = 0, площина II O_xy

6)A=C=0, B_y+ D = 0, площина II O_xz

7)B=C=0, A_x + D = 0, площина II O_yz

8)A=D=0, B_y +C_z = 0,площина проходить через O_x

9)B=D=0, A_x + C_z= 0, площина проходить через O_y

10)C=D=0, A_x +B_y= 0, площина проходить через O_z

11) A=0, B=0, D=0, C_z= 0, площина O_xy

12) A=0, C=0, D=0, B_y= 0, площина O_xz

13) B=0, C=0, D=0, A_x= 0, площина O_yz