Математическая теория поля. Векторное поле. Дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля.
Дивергенция векторного поля в точке определяется как предел, к которому стремится отношение потока через замкнутую поверхность , окружающую точку , к объему области , ограниченной этой поверхностью. Предел берется при стремлении диаметра области к нулю.
Дивергенция поля
обозначается
.
Если поле
задано в виде
то
Векторное поле
называется соленоидальным, если
во всех точках, где определено поле
.
Теорема Остроградского — Гаусса.
Если дивергенция векторного поля непрерывна во всех точках области , ограниченной гладкой или кусочно-гладкой замкнутой поверхностью , то имеет место следующее равенство (формула Остроградского — Гаусса):
где — поток через поверхность .
В координатах эта формула может быть записана следующим образом:
Из формулы Остроградского — Гаусса вытекает, что поток через замкнутую поверхность равен нулю тогда и только тогда, когда поле соленоидально в той области , которая ограничена этой поверхностью (конечно, при условии, что дивергенция непрерывна всюду в области ).
Циркуляция векторного поля.
Пусть
—
гладкая
или кусочно-гладкая кривая с выбранным
на ней направлением и пусть во всех
точках этой кривой определено непрерывное
векторное поле
.
Интеграл по кривой
от скалярного произведения
(где
—
единичный
касательный вектор, направление которого
совпадает с выбранным направлением на
кривой) называется циркуляцией
векторного поля
по кривой
:
или если , то
Ротор векторного поля.
Пусть в точке
и в ее окрестности определено непрерывное
векторное поле
.
проведем
через
.
плоскость, перпендикулярную некоторому
заданному вектору
,
и опишем в этой плоскости замкнутый
контур
,
окружающий точку
(направление обхода .на
выбирается так, чтобы обход контура
казался совершающимся против часовой
стрелки если смотреть на плоскость с
той стороны, куда направлен вектор
).
Предел, к которому стремится отношение
.при
стягивании контура
к точке
,
называется плотностью циркуляции
векторного поля в .точке
в направлении вектора
.
Если все составляющие вектора .имеют непрерывные частные производные всюду в окрестности точки , то указанный предел существует.
Ротором векторного
поля
в точке
называется вектор (обозначаемый
),
проекция которого на любое направление
равна плотности циркуляции в точке
в этом направлении.
Если , то
Если во всех точках области ротор поля равен нулю, то это поле называется безвихревым в области
Математическая теория поля. Векторное поле. Теорема Остроградскоого-Стокса. Действия над дивергенцией и ротором векторного поля.
Пусть векторное поле определено в некоторой области и имеет во всех точках этой области непрерывный ротор; пусть в этой области расположена гладкая или кусочно-гладкая замкнутая кривая , на которую натянута гладкая поверхность , также лежащая целиком в области . Тогда имеет место равенство (формула Остроградского — Стокса):
где вектор нормали к направлен в ту сторону пространства, откуда движение покажется происходящим против часовой стрелки.
Формулу Остроградского — Стокса можно прочесть следующим образом:
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через поверхность , натянутую на контур (конечно, при условии, что направление обхода контура и ориентация поверхности согласованы друг с другом так, как указано выше).
Формула Остроградского — Стокса может быть записана в координатах следующим образом:
Действия над дивергенцией и ротором.
Пусть
и
— векторные поля, заданные в одной и
той же области
;
пусть
— скалярное поле, заданное в той же
области. Если в каждой точке области
определены дивергенция и ротор полей
и
,
а также градиент поля
,
то имеют место следующие формулы:
Если — постоянный вектор, то
.Если
и
— постоянные числа, то
