Модель атмосферної турбулентності:

У відповідності до прийнятого математичним описом турбулентного руху повітря математичну модель його вертикальної складової можна представити у вигляді наступної системи диференціальних рівнянь:

де – вертикальна складова швидкості повітря, - проміжна змінна, - середньоквадратичне значення вертикальної складової швидкості повітря, - сигнал генератора “білого” шуму, (L = 300м – масштаб турбулентності – параметр, що характеризує лінійні розміри турбулентної області, в якій проявляється помітний зв’язок між складовими швидкості повітряних мас), - крок інтегрування.

Градієнтні методи оптимізації

Методи першого порядку вимагають обчислення похідної ЦФ в заданій точці з метою отримання градієнту. Градієнтом функції f[x] в точці x[0] називають n-мірний вектор f(x[0]), компоненти котрого є частинними похідними функції f[x], обчисленими в точці x[0], тобто:

Вектор-градієнт напрямлений в бік найшвидшого зростання функції в даній точці. Вектор протилежний градієнту називається антиградієнтом і напрямлений в бік найшвидшого зменшення функції. На цій властивості градієнта засновані методи першого порядку.

Градієнтні методи сходяться до мінімуму з високою швидкістю (зі швидкістю геометричної прогресії) для гладких опуклих функцій. Однак на практиці, значення функцій вздовж деяких напрямків змінюються набагато швидше (іноді на кілька порядків), ніж в інших напрямках. Їх поверхні в простому випадку сильно витягуються, а в більш складних випадках згинаються і утворюють собою яри.

Швидкість збіжності градієнтних методів істотно залежить також від точності обчислень градієнта. Втрата точності, а це зазвичай відбувається в околиці точок мінімуму або в ярі, може взагалі порушити збіжність процесу градієнтного спуску. Внаслідок перерахованих причин градієнтні методи часто використовуються в комбінації з іншими методами на початковій стадії вирішення ЗО. У цьому випадку точка х[0] знаходиться далеко від точки мінімуму, і кроки в напрямку антіградіента дозволяють досягти істотного зменшення функції.

Хід виконання

Дослідження моделі самоналагоджувальної системи виконаємо на основі лінеарізованої моделі польоту літака в повздовжній площині. Призначенням даної моделі є дослідження ефективності стабілізації висоти за умов знаходження літака в зоні турбулентності.

У якості варіанту реалізації даної моделі використаємо алгоритм(рис.2):

Рис.2. Алгоритм моделювання руху в повздовжній площині

Зі структури алгоритму очевидна наявність двох моделей руху літака, що підключені паралельно. Зважаючи на випадковий харакетр турбулентності для оцінки ефективності самоналагоджування необхідно окрім основної моделі, значення коефіцієнтів ЗУ в котрій будуть динамічно змінюватись, отримати дані з еталонної моделі, котра має сталі коефіцієнти ЗУ.

Зважаючи, що основним завданням досілджуваної моделі є стабілізація висоти, то можна стверджувати, що задача оптимізації зводиться до мінімізації відхилення значення висоти від заданого. Отже цільова функція матиме вигляд:

У випадку сталих коефіцієнтів ЗУ і наявності турбулентності( ) залежність може мати наступний вигляд(рис.3):

Рис.3. Характер зміни відхилення за висотою

Оптимізація в даному випадку полягатиме у визначення таких значень коефіцієнтів ЗУ котрі дозволили б мінімізувати відхилення за висотою. Для цього застосуємо градієнтний метод з метою мінімізації ЦФ.

Очевидно, що зважаючи на випадкових характер турбулентності та інерційність системи не видається можливим повністю уникнути відхилення за висотою. Тому для оцінки результатів роботи E самоналагоджувальної системи використаємо відношення середніх відхилень для еталонної та самоналагоджувальної моделі зі час спостереження:

де - середнє відхилення самоналагоджувальної та еталонної моделі; - значення висоти в момент часу t; - задане значення висоти.

Алгоритм обчислення коефіцієнтів ЗУ має наступний вигляд(рис.4):

Рис.4. Алгоритм обчислення коефіцієнтів ЗУ

Шляхом досліджень роботи самоналагоджувальної системи було виявлено, що процес обчислення параметрів знаходиться в придатному для спостережень стані при значеннях коефіцієнтів градієнтного методу .

Перевіримо адекватність реалізації моделі(рис.5) шляхом дослідження її реакції на поступову зміну заданої висоти в межах: .

Р ис.5 Реакція моделі на зміну значення заданої висоти

Виконаємо дослідження ефективності самоналагоджування системи при початкових значеннях коефіцієнтів ЗУ . Для еталонної моделі дані коефіцієнти є сталими.

Виконаємо моделювання:

- :

	E
0,5	0,3%	0,049	0,050	0,354	0,444	2,999	3,000

- :

	E
5,0	15,6%	0,048	0,051	0,146	0,839	2,994	3,000

- :

	E
30,0	50,8%	0,042	0,055	0,054	2,884	2,972	3,000