13.Первое начало термодинамики. Теплоемкость системы. Теплоемкость идеального газа. Связь теплоемкости газа с числом степеней свободы молекул.

Первый закон термодинамики

Внутренняя энергия может изменяться только под влиянием внешних воздействий, то есть в результате сообщения системе количества теплоты Q и совершения над ней работы (-А):

или (11)     

Это выражение представляет собой закон сохранения энергии в применении к макроскопическим системам и является математической формулировкой I-го начала термодинамики:

количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.

Если в изолированной системе (Q = A = 0) не происходит никаких превращений энергии, кроме теплообмена между телами, входящими в эту систему, то количество теплоты, отданное охлаждающимися при этом телами, равно количеству теплоты, полученному телами, которые нагреваются. Суммарная внутренняя энергия системы при этом не меняется.

.             (12) - уравнением теплового баланса.

Применим первое начало термодинамики для получения выражений для теплоемкости идеального газа.

Теплоемкость системы численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить системе, чтобы ее температура увеличилась на 1 Кельвин.  

Если система получила количество тепла Q, и ее температура изменилась на T, то теплоемкость этой системы будет равна:

C = Q/T.             (13)

Если под системой понимается 1 моль вещества, то теплоемкость называется молярной и обозначается С, если под системой понимается единица массы вещества, то теплоемкость называется удельной и обозначается c_уд:

c_уд = C/M.               (14)

Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля вещества на 1 Кельвин, называется молярной теплоемкостью C_ = dQ/(·dT).

Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 килограмма вещества на 1 Кельвин, называется удельной теплоемкостью(Удельной теплоемкостью называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое надо сообщить единице массы этого вещества для увеличения ее температуры на один кельвин.) c = dQ/(m·dT).

Молярная теплоемкость легко рассчитать, зная значение удельной теплоемкости и молярную массу (молярной (мольной) теплоемкостью, которая в отличие от удельной теплоемкости отнесена не к одному килограмму, а к одному молю вещества.)

C_ = с·.

Теплоемкость, количество теплоты, затрачиваемое для изменения температуры на 1°С. Согласно более строгому определению, теплоемкость - термодинамическая величина, определяемая выражением:

где ΔQ - количество теплоты, сообщенное системе и вызвавшее изменение ее температуры на ΔT.

Элементарное количество теплоты Q, сообщаемое системе, представляющей собой молей идеального газа, для изменения ее температуры от Т до Т + T, равно:

.      (15)

Внутреннюю энергию можно изменить двумя способами: путем передачи теплоты и путем совершения работы. При теплопередаче молекулы более нагретого тела передают часть своей энергии хаотического движения молекулам более холодного тела. Переданное количество теплоты является мерой изменения внутренней энергии каждого из тел:

U =Q. 

Принято считать, что Q > 0, если тело получает энергию, и Q < 0, если тело отдает свою энергию. При совершении механической работы должно происходить направленное перемещение тел под действием сил, например, перемещение поршня в цилиндре с газом. Если газ расширяется, то сила давления газа на поршень совершает положительную работу (A > 0) за счет внутренней энергии газа. Если внешние силы больше силы давления газа, то газ сжимается и работа газа будет отрицательной (A < 0), при этом внутренняя энергия увеличивается. 

В обоих случаях будет справедливо уравнение U = – A. Если система одновременно совершает работу и получает или отдает теплоту, то изменение ее внутренней энергии

U = Q – A.

Уравнение U = Q – A называется первым законом термодинамики (или первым началом термодинамики). 

Изменение внутренней энергии термодинамической системы U равно разности полученного количества теплоты Q и работы A, совершенной системой. 

Теплоемкость идеального газа— это отношение количества теплоты, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.

Связь теплоемкости газа с числом степеней свободы молекул.

понятие числа степеней свободы – это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве. Например, молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, обладающую тремя степенями свободы поступательного движения (координаты x,y,z)

Молекула может совершать пять независимых движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и два вращения относительно осей X и Y. Опыт показывает, что вращение относительно оси Z, на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких температурах. При обычных температурах вращение около оси Z не происходит, так же как не вращается одноатомная молекула. Каждое независимое движение называется степенью свободы. Таким образом, одноатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы, «жесткая» двухатомная молекула имеет 5 степеней (3 поступательные и 2 вращательные), а многоатомная молекула – 6 степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные).

В классической статистической физике доказывается так называемая теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы:

Если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре T, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой степени свободы молекулы она равна

Из этой теоремы следует, что молярные теплоемкости газа C_p и C_V и их отношение γ могут быть записаны в виде

где i – число степеней свободы газа.

Для газа, состоящего из одноатомных молекул (i = 3)

Для газа, состоящего из двухатомных молекул (i = 5)

Для газа, состоящего из многоатомных молекул (i = 6)