25. Означення диференціалу функції, його зміст. Правила знаходження диференціалу. Застосування диференціалу до наближених обчислень.

Диференціал ф-ції визначається dy=∆x

Похідну ф-ції можна позначити як

Диференціал ф-ції знаходять за ф-лою: dy=y’dx

Диференціалом ф-ції наз.. головну лінійну частину її приросту.

За означенням

Це означає, що - нескінченно мала величина.

або ∆y=y’∆x- ∆x

Диференціал вик.. для наближених обчислень на основі формуди:

y(x₀+∆x)=y(x₀)+y’(x₀)∆x

26. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Основні теореми диференціального числення: Ролля, Ферма, Лагранжа, Коші.

У випадку невизначеностей : ;та зручно використовувати правило Лопталя:

При необхідності правило Лапіталя вик.. повторно.

27. Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Ф-ція y=f(x) зростає на проміжку, якщо у кожній точці цього проміжку y’(x)>0 і спадає у випадку y’(x)<0.

План дослідження на монотонність:

1. Знайти y’

2. Розвязати р-ння y’(х)=0

3. Зобразити корені на числовій осі і знайти знаки похідної на кожному з проміжків.

4. Зробити висновки.

Точку х₀ наз.. точкою екстремуму ф-ції у=f(x), якщо для неї можна визначити деякий окіл. Такий, що для всіх х цього околу вик.. умова y(x₀)>y(x) – х₀ точка максимум. y(x₀)<y(x) – х₀ – точка мінімуму.

Необхідна умова існування екстремуму в т. х₀ : y’(x₀)=0. Достатня умова: знак похідної змінюється на протилежний.

План дослідження:

1. Знайти y’

2. Розвязати р-ння y’(х)=0 – знаходимо критичні точки

3. Дослідити знак похідної на проміжках.

4. Зробити висновки.

5. Знайти значення ф-ції в точках екстремуму.

Найбільшого/найменшого значення на відрізку ф-ція може набувати: 1. У точках екстремуму. 2. На кінцях відрізку.

План дослідження:

1. Знайти екстремуми ф-ції.

2. Знайти значення ф-ції у точках екстремуму, що належать вказаному відрізку та на кінцях відрізка.

3. Вибрати найбільше та найменше значення.

28. Загальна схема дослідження функцій. Побудова графіків функцій.

Схема дослідження ф-ції:

1. Область визначення

2. Парність/непарність

3. Періодичність

4. Точки розриву

5. Проміжки монотонності та екстремуму

6. Напрям опуклості та точки перегину

7. Точки претину з осями координат.

8. Асимптоти графіка ф-ції.

9. Побідова графіка ф-ції за знайденими результатами дослідження.

29. Означення функції багатьох змінних. Область визначення. Частинний приріст функції, частинні похідні. Частинні похідні вищих порядків.

Ф-цію багатьох змінних (n-змінних) наз.. ф-ція від n – незалежних аргументів.

Z=f(x₁;x₂…x_n)

Якщо к-сть аргументів обмежена вживають термін ф-ція к-х змінних.

Z=f(x;y) – ф-ція двох змінних.

N=f(x;y;z) – ф-ція 3х змінних.

О-стю визначення ФБЗ наз.. всі можливі набори її аргументів. Для однієї змінної – множина точок числової прямої. Для ф-ції двох змінних – фігура координатної площини. Для ф-цівї трьох змінних – тіло тривимірного простору.

Частинним приростом ФБЗ на змінній х_і наз.. різницю: ∆z_zi = z(x₁;x₂…x_i+∆x…x_n) – z(x₁x₂…x_i…x_n)

Отже, частинний приріст це змінна ф-ції внаслідок зміни лише єдиного із аргументів.

Частинною похідною ФБЗ наз.. границю відношення частинного приросту до приросту відповідного аргументу, коли останній прямує до нуля.

При диференціюванні ФБЗ:

1. Застосовують правила і таблиці похідних для ф-ції однієї змінної.

2. При знаходженні частинної похідної по деякій змінній до інших змінних відносяться як до сталих величин.

Часткові та мішані похідні вищих порядків: