11 1Й курс. 2й семестр. Лекция 15 Лекция 15.

Статистическое описание равновесных состояний. Функция распределения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла. Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Фазовое пространство. Распределение Максвелла-Больцмана. Равновесные флуктуации. Статистическое обоснование второго начала термодинамики. Формула Больцмана для статистической энтропии.

Математическое отступление.

Пусть при каком-то эксперименте было проведено N испытаний, в результате чего был получен ряд значений искомой величины x: {x₁, x₂, x₃, x₄, , x_N}. Причем некоторые из этих значений могут быть одинаковыми. Составим таблицу (или как говорят, распределение значений).

Значение x	x1	x2	…	xk
Количество одинаковых значений	N1	N2	…	Nk

При этом .

Определим частоту появления величины x_i как отношение: .

Среднее значение величины x: .

В случае повторных экспериментов в тех же условиях можно ожидать, что новое значение средней величины будет несильно отличаться от прежнего значения. В предельном случае бесконечного числа испытаний величина

называется вероятностью появления значения x_i .

Предположим, что вероятность p_i уже известна для данного эксперимента. Тогда можно рассчитывать, что при проведении N испытаний величина x_i выпадет N_i=p_i N раз.

В некоторых случаях математический анализ условий проведения эксперимента даёт оценку для вероятности появления величины x в виде определённого интеграла:

- это вероятность того, что числовое значение величины x (которая называется случайной величиной) находится в пределах x₁<x<x₂. В этом случае, если интервал x=x₂x₁ имеет малую величину, то , где x₁<x₀<x₂.

Среднее значение величины x в этом случае ищется в виде: .

Функция f(x) называется плотностью распределения. Для неё выполняется условие нормировки:

.

Смысл этого условия можно определить из равенства - вероятность того, что величина x примет какое-то значение, равна 1.

Примером плотности распределения является нормальное распределение (распределение Гаусса):

.

Если задана какая-то функция от случайной величины (x), то среднее значение этой функции

.

Если при измерениях получаются две случайные величины x и y, то вероятность задается с помощью уже двумерной функции распределения:

.

Если случайные величины x и y независимы друг от друга, то .

Замечание. В случае, когда случайная величина задается функцией распределения, вероятность того, что эта величина примет конкретное значение равна нулю .

Распределение Больцмана.

Пусть идеальный газ находится во внешнем поле силы тяжести при постоянной температуре. Рассмотрим равновесие малого объёма газа:

,

,

где плотность газа ,

, , .

Задавая давление p=p₀ при z=0, получаем .

Делим числитель и знаменатель дроби в показателе степени на число Авогадро: - масса молекулы, - постоянная Больцмана, получаем:

.

Это соотношение носит название барометрическая формула для изотермического столба газа в однородном поле силы тяжести.

Замечание. Хотя температура реальной атмосферы и уменьшается с высотой, но эта формула достаточно хорошо согласуется с экспериментом.

С учётом основного уравнения МКТ: p = nkT получаем , где n₀ – концентрация молекул при z=0. Если учесть, что W_П = m₀gz – потенциальная энергия молекул в поле сил тяжести, то получаем распределение Больцмана по энергиям:

.

Замечание. Из этой формулы следует, что при T0 молекулы собираются вблизи поверхности нулевого значения энергии Wп=0.

Найдем среднее значение потенциальной энергии молекул (по высоте): .

Т.к. распределение молекул по энергиям - непрерывная функция, то

.

Откуда .