§ 2. Система двух непрерывных случайных величин

Определение 1. Система случайных величин называется непрерывной или системой непрерывных случайных величин, если множество допустимых значений занимает сплошь некоторую односвязную область плоскости , функция распределения непрерывна на всей координатной плоскости и имеет смешанную производную второго порядка на области .

Как и в случае одной случайной величины, закон распределения системы двух случайных величин характеризуется плотностью системы.

Определение 2. Плотностью системы в точке называется предел отношения вероятности того, что значение системы принадлежит к некоторой области, содержащей эту точку, к площади этой области.

Плотность обозначается и определяется по формуле

(6.2.1)

Обычно плотность доопределяют на всю координатную плоскость по правилу

Свойства плотности системы аналогичны свойствам плотности одной случайной величины

1. 

2. 

3. 

Зная плотность системы можно найти плотности составляющих ее случайных величин

(6.2.2)

(6.2.3)

Используя эти формулы, можно находить числовые характеристики случайных величин, составляющих систему

(6.2.4)

(6.2.5)

(6.2.6)

(6.2.6)

§ 3. Условные распределения. Регрессия

На основании теоремы о произведении событий можно найти условные вероятности того, что при условии, что

(6.3.1)

Аналогично находится и условная вероятность тог, что при условии, что

(6.3.2)

Условные вероятности определяют условные распределения дискретных случайных величин, которым соответствуют условные математические ожидания и условные дисперсии. Используются обозначения: и условное математическое ожидание и условная дисперсия случайной величины Х при условии, что случайная величина

(6.3.3)

(6.3.4)

Аналогично определяются и условные математические ожидания и дисперсии величины Y.

Для системы непрерывных случайных величин условные законы распределения вводятся с помощью условной плотности. - условная плотность случайной величины Х при условии, что Условные плотности определяются по формулам

(6.3.5)

(6.3.6)

Замечание. Не следует понимать обозначение условной плотности как функцию дроби. Это просто принятый символ. Условная плотность, вообще говоря, является функцией двух переменных.

Непрерывным условным распределениям тоже соответствуют условные математические ожидания и условные дисперсии, например,

(6.3.7)

(6.3.8)

Таким образом каждому допустимому значению одной случайной величины системы соответствует условное математическое ожидание (и условная дисперсия) другой. Для дискретных величин эта зависимость может быть задана таблицей (табл.6 и табл.7).

Таблица 6

Таблица 7

Для непрерывных величин эта зависимость задается аналитически формулами (6.3.7) и (6.3.8), т.е.

(6.3.9)

(6.3.10)

Зависимости (6.3.9) и табл.6 определяют, так называемую, регрессию Х на Y, а (6.3.10) и табл.7 - регрессию Y на Х. Уравнения (6.3.9) и (6.3.10) называются уравнениями регрессии, а их графики - линиями регрессии.

Замечание. Иногда под уравнением регрессии понимают зависимость , которая определяется следующим образом. Задается функция данного вида, например, линейная, или квадратичная, или показательная и т.п. Коэффициенты этой функции определяются так, чтобы выражение

достигало минимума. Случайная величина является приближением случайной величины как функции данного вида случайной величины . Правильное название такой зависимости не «уравнение регрессии», а уравнение средней квадратической регрессии. Эти два уравнения совпадают только в том случае, если вид функции совпадает с видом функции (6.3.10).