Суммирование случайных погрешностей.

Правила суммирования случайных погрешностей основаны на известных из теории вероятностей положениях [48,49]:

а) оценка математического ожидания результирующей погрешности определяется алгебраической суммой оценок математических ожида­ний составляющих;

б) оценка СКО суммарной погрешности определяется выражением

(7)

где Si — оценка СКО i-й составляющей погрешности; m — число суммируемых составляющих погрешностей; — коэффициент кор­реляции между i- и j-й составляющими.

При суммировании m случайных погрешностей их коэффициен­ты корреляции образуют матрицу, которая ввиду равенства является диагональной. Так как матрица коэффициентов корреля­ции симметрична относительно главной диагонали, на которой на­ходятся значения , то формулу(7) можно переписать в виде

где суммирование во втором слагаемом распространяется на все те составляющие, коэффициенты корреляции которых находятся в мат­рице правее и выше главной диагонали. Их число равно m(m-l)/2.

Использование последнего уравнения и выражения (7) затрудни­тельно, так как точное значение коэффициента корреляции между со­ставляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полага­ют р = О, если случайные составляющие можно считать независимыми (при |р| < 0,7), или р = ±1, если заметна корреляция между суммируе­мыми случайными составляющими погрешностей (при |р| > 0,7).

При необходимости точного учета коэффициента корреляции между погрешностями аргументов и его оценка может быть найдена по формуле

(8)

Где и — элементы выборки аргументов и ; , - оценки СКО средних арифметических результатов измерений аргу­ментов и . Оценку коэффициента корреляции можно опреде­лить и по формуле

(9)

Полезной может оказаться формула

(10)

основным достоинством которой является отсутствие необходимос­ти предварительного вычисления СКО составляющих и . Сле­дует отметить, что формулы (9.8)—(9.10) равнозначны.

В случае суммирования нормально распределенных случайных погрешностей результирующая погрешность измерения состоит из m случайных составляющих» Зная доверительную вероятность Р и доверительный интервал Д₄ для каждой составляющей погрешнос­ти» можно найти оценку СКО любой из них по формуле

(11)

где z_pi — квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности Р,. Если значение Р для всех составля­ющих одинаково, то, используя выражения (9.7) и (9.11), получа­ем:

(12)

а) для коррелированных составляющих

где знак ± означает, что для составляющих с положительной кор­реляцией величины и нужно брать со знаком "+", а для со­ставляющих с отрицательной корреляцией — со знаком "-";

б) для независимых составляющих

(13)

При суммировании составляющих с нормальным законом рас­пределения результирующая погрешность также будет распределе­на нормально. Поэтому доверительный интервал суммарной погреш­ности с доверительной вероятностью Р может быть найден как

. (14)

С учетом (9.12) и (9.13) выражение (9.14) принимает вид, соот­ветственно для коррелированных и некоррелированных составляю­щих:

(15)

Суммирование погрешностей по первой формуле называется арифметическим, а по второй — геометрическим. Действитель­ные значения коэффициентов корреляции по абсолютному значе­нию могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности, а геометрическое — заниженное, т.е. дей­ствительное значение находится в интервале между ними.

Закон распределения результирующей погрешности зависит от кон­кретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Исходя из этого для определения доверительного ин­тервала суммарной погрешности необходимо в каждом конкретном слу­чае по известным законам суммируемых составляющих установить ме­тодами теории вероятностей результирующий закон распределения. Зная его и соответственно квантильный множитель z_p, можно найти довери­тельный интервал суммарной погрешности по формуле (14), Возможны приближенные способы определения доверительно­го интервала суммарной погрешности без установления результи­рующего закона распределения (они рассмотривались в разд.1).