Комбинированный метод хорд и касательных Теоретические основы метода

1. Метод хорд.

Пусть дано уравнение (1.1). Необходимо определить приближенный корень с заранее заданной точностью .

Будем считать, что корни отделены, т.е. определен отрезок (отрезки), содержащий строго один корень. При этом выполнены условия отделимости.

1. f(a) f(b)<0.

2. Сохраняет знак в [a, b].

Всегда можно предположить, что выполняется третье условие отделимости, а именно:

3. Сохраняет знак в [a, b].

Действительно, пусть третье условие не выполнено в [a, b]. Тогда, если f(х) непрерывна в [a, b], внутри [a, b] существует хотя бы одна точка перегиба. Обозначим эту точку x₀, тогда получим пару отрезков [a, x₀] и [x₀, b], для каждого из которых выполняется второе условие отделимости. Поэтому для дальнейшего исследования выберем отрезок, который содержит в себе точный корень, а именно тот, для которого выполняется первое условие. Аналогичная ситуация, когда внутри [a, b] содержится более одной точки перегиба. В дальнейшем предполагаем, что внутри [a, b] выполнены все три условия отделимости.

У равнению (11.) поставим в соответствие функцию y = f(x) и предположим, что график функции имеет вид, представленный на рис.1.1. В точках x=a и x=b восстановим перпендикуляры до пересечения с графиком функции. В результате получим точки M(a, f(a)) и N(b, f(b)). Через точки M и N проведем хорду (отрезок прямой) и в качестве первого приближения примем абсциссу x₁ точки пересечения хорды и оси ОХ. Заметим, что при этом ордината точки пересечения равна нулю. Вычислим приближение x₁. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид:

.

Для точки пересечения хорды с осью ОХ имеем y=0, тогда

,

откуда

.

В точке x₁ восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции. В результате получим точку M₁(x₁, f(x₁)). Через точки M₁ и N проведем хорду и в качестве второго приближения примем абсциссу точки пересечения хорды и оси ОХ. Вычислим x₂. Уравнение прямой, проходящей через точки M₁ и N, имеет вид:

.

Тогда для точки пересечения получим:

,

откуда

.

Рассуждая аналогично на шаге с номером n, найдём

. (1.2)

Получили расчетную формулу метода хорд с неподвижной правой границей b.

Последнее соотношение позволяет построить числовую последовательность приближений x₁, x₂, …, x_n, …, предел которой при неограниченном увеличении n стремятся к точному корню, оставаясь в рассматриваемом случае слева от него.

2. Метод касательных

К графику функции y = f(x) в точке N (Рис.1.2) проведем касательную и в качестве первого приближения выберем абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ, которая имеет координаты (x₁, 0).

У равнение касательной имеет вид:

.

Тогда для точки пересечения с осью ОХ имеем

,

откуда

.

_Рис.1.2 В x₁ восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции, которую обозначим N₁. Через N₁(x₁, f(x₁)) проведем касательную к графику функции и в качестве второго приближения примем абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ. Имеем: . Учитывая, что ордината точки пересечения с осью ОХ равна нулю, найдем x₂:

;

.

Рассуждая аналогично, на шаге n получим

. (1.3)

Соотношение (1.3) является расчетной формулой метода касательных и позволяет найти последовательность приближений x₁, x₂, …, x_n, …, предел которой при неограниченном увеличении n стремятся к точному корню, оставаясь в рассматриваемом случае справа от него.

3. Комбинированный метод хорд и касательных

Заметим, что в соотношении (1.2) правая граница остается неподвижной. Суть комбинированного метода хорд и касательных заключается в том, что на каждом шаге (итерации) вычисляются два приближения: одно - по методу касательных, второе - по методу хорд. Причем неподвижная граница метода хорд на каждом шаге заменяется найденным приближением по методу касательных. Замена неподвижного узла в методе хорд на подвижный значительно уменьшает время сходимости процесса вычислений к точному корню.

Расчетные формулы комбинированного метода имеют вид:

;

.

В приведённых формулах приближения, вычисленные по методу касательных, подчёркнуты сверху.

Заметим, что на каждом шаге точный корень всегда будет содержаться в отрезке . Процесс вычислений следует прекратить при выполнении неравенства

и в качестве решения задачи выбрать любую точку из отрезка .

В рассматриваемом случае метод касательных начинается с правой границы, однако он может стартовать и с левой границы. Для определения границы начала метода касательных следует вычислить два произведения: и и в качестве точки старта выбрать ту границу, для которой данное произведение больше нуля. Приведенные формулы были выведены при условии, что внутри отрезка [a, b] производные положительны. В случае, если характер монотонности и выпуклости графика функции иной, чем указанный выше, то расчетные формулы метода следует вывести вновь.